Determine a área da parte do paraboloide que está abaixo do plano .
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão! A gente precisa encontrar a área da parte do paraboloide que está abaixo do plano . Para isso, vamos usar cálculo de integrais de superfície, especificamente em coordenadas polares, já que a área que a gente quer calcular tem simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a curva onde o paraboloide e o plano se intersectam. Igualando as duas equações:
Isso mostra que a interseção é um círculo com raio 3 no plano .

Passo 3

Agora, para calcular a área da superfície do paraboloide abaixo desse plano, vamos usar a fórmula da área de uma superfície :
Á
No nosso caso, , então precisamos calcular as derivadas parciais.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da área:
Aqui, usamos coordenadas polares onde e , então .

Passo 5

Convertendo a integral para coordenadas polares, temos:
Á
A gente limita de 0 a 3 porque o raio do círculo de interseção é 3.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna:
Fazendo a substituição , então ou .
A integral fica:
Como , então:

Passo 7

Agora, resolvendo a integral externa:
Á

Resposta

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Resposta:
Calcule , onde é a superfície
Resposta: