Determine a área da parte do paraboloide
que está abaixo do plano
.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão! A gente precisa encontrar a área da parte do paraboloide
que está abaixo do plano
. Para isso, vamos usar cálculo de integrais de superfície, especificamente em coordenadas polares, já que a área que a gente quer calcular tem simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a curva onde o paraboloide e o plano se intersectam. Igualando as duas equações:
Isso mostra que a interseção é um círculo com raio 3 no plano
.
Passo 3
Agora, para calcular a área da superfície do paraboloide abaixo desse plano, vamos usar a fórmula da área de uma superfície
:
No nosso caso,
, então precisamos calcular as derivadas parciais.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da área:
Aqui, usamos coordenadas polares onde
e
, então
.
Passo 5
Convertendo a integral para coordenadas polares, temos:
A gente limita
de 0 a 3 porque o raio do círculo de interseção é 3.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna:
Fazendo a substituição
, então
ou
.
A integral fica:
Como
, então:
Passo 7
Agora, resolvendo a integral externa:
Resposta
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, onde
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Resposta:
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, onde
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Resposta:
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