Calcule integral duplaS F n d S, onde F(x, y, z)=3 x y^2 i+x e^z j+z^3 k, onde S é a superfície do sólido limitado pelo cilindro y^2+z^2=1 e pelos planos x=-1 e x=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de fluxo , onde . A superfície é o sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que transforma uma integral de superfície em uma integral tripla sobre o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Isso facilita porque, em vez de calcular uma integral de superfície complicada, podemos calcular uma integral tripla sobre o volume delimitado por .

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência de nabla cdot F = partialpartial x(3xy^2) + partialpartial y(xe^z) + partialpartial z(z^3) :
partialpartial x(3xy^2) = 3y^2
Calculando cada derivada:
partialpartial y(xe^z) = 0 (pois xe^z não depende de y)
partialpartial z(z^3) = 3z^2 ã
nabla cdot F = 3y^2 + 0 + 3z^2 = 3(y^2 + z^2)
Então,

Passo 4

Agora, precisamos configurar a integral tripla y = rcostheta, z = rsintheta . Observe que a região y^2 + z^2 = r^2 é um cilindro com dV = r , dr , dtheta , dx e se estende de a .
Como o cilindro tem simetria circular em torno do eixo , é conveniente usar coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas:

Passo 5

Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas:
integral triplaV 3(y^2 + z^2) , dV = integral triplaV 3r^2 cdot r , dr , dtheta , dx = 3 integral triplaV r^3 , dr , dtheta , dx
Os limites de integração são:
  • varia de a
  • varia de a (já que )
  • varia de a

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
3 integralx=-1^2 integraltheta=0^2pi integralr=0^1 r^3 , dr , dtheta , dx
Primeiro, integramos em relação a integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14 :
3 integral-1^2 integral0^2pi 14 , dtheta , dx = 34 integral-1^2 integral0^2pi 1 , dtheta , dx
Então, a integral fica:
integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi
Integramos em relação a 34 cdot 2pi integral-1^2 1 , dx = 34 cdot 2pi cdot (2 - (-1)) = 34 cdot 2pi cdot 3 :
Agora, a integral é:

Resposta

integral duplaS F cdot n , dS = 34 cdot 2pi cdot 3 = 9pi2

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