Calcule
, onde
, onde
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de fluxo
, onde
. A superfície
é o sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que transforma uma integral de superfície em uma integral tripla sobre o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
Isso facilita porque, em vez de calcular uma integral de superfície complicada, podemos calcular uma integral tripla sobre o volume
delimitado por
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência de
:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos configurar a integral tripla
. Observe que a região
é um cilindro com
e se estende de
a
.
Como o cilindro tem simetria circular em torno do eixo
, é conveniente usar coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas:
Passo 5
Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas:
Os limites de integração são:
-
varia de a -
varia de a (já que ) -
varia de a
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Integramos em relação a
:
Agora, a integral é:
Resposta
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Considere o campo vetorial
em que a e b sāo constantes. Determine valores de a e b para os quais
é um campo conservativo.
Calcule a integral de linha:
onde
é o segmento de reta ligando o ponto
ao ponto
.
Determine domínio, imagem e desenhe as curvas de nível das seguintes funções
Encontre o valor de
de modo que a
seja continua