Calcule , onde , onde é a superfície do sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de fluxo , onde . A superfície é o sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que transforma uma integral de superfície em uma integral tripla sobre o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
Isso facilita porque, em vez de calcular uma integral de superfície complicada, podemos calcular uma integral tripla sobre o volume delimitado por .

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência de :
Calculando cada derivada:
ã
Então,

Passo 4

Agora, precisamos configurar a integral tripla . Observe que a região é um cilindro com e se estende de a .
Como o cilindro tem simetria circular em torno do eixo , é conveniente usar coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas:

Passo 5

Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas:
Os limites de integração são:
  • varia de a
  • varia de a (já que )
  • varia de a

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Integramos em relação a :
Agora, a integral é:

Resposta

Exercícios relacionados

Considere o campo vetorial
em que a e b sāo constantes. Determine valores de a e b para os quais é um campo conservativo.
Calcule a integral de linha:
onde é o segmento de reta ligando o ponto ao ponto .
Determine domínio, imagem e desenhe as curvas de nível das seguintes funções
Encontre o valor de de modo que a
seja continua