Encontre o valor de de modo que a
seja continua

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor de que faz com que a função seja contínua. A gente está trabalhando com continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o limite da função quando se aproxima de e igualar esse limite ao valor de .

Passo 2

Primeiro, lembra que uma função de duas variáveis é contínua no ponto se o limite da função quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, queremos que seja contínua em , então precisamos que:

Passo 3

Vamos calcular o limite da função quando . A função dada é:
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e . Nesse caso, , e o limite se torna:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador. Multiplicamos numerador e denominador pela conjugada :

Passo 5

Simplificando os :
Agora, podemos calcular o limite quando :

Resposta

Para a função ser contínua em , o valor de deve ser igual a 2.

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