Encontre o valor de
de modo que a
seja continua
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor de
que faz com que a função
seja contínua. A gente está trabalhando com continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o limite da função quando
se aproxima de
e igualar esse limite ao valor de
.
Passo 2
Primeiro, lembra que uma função de duas variáveis é contínua no ponto
se o limite da função quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, queremos que
seja contínua em
, então precisamos que:
Passo 3
Vamos calcular o limite da função
quando
. A função dada é:
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Nesse caso,
, e o limite se torna:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o denominador. Multiplicamos numerador e denominador pela conjugada
:
Passo 5
Simplificando os
:
Agora, podemos calcular o limite quando
:
Resposta
Para a função
ser contínua em
, o valor de
deve ser igual a 2.
Exercícios relacionados
Determine domínio, imagem e desenhe as curvas de nível das seguintes funções
Calcule
, onde
, onde
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Determine se as seguintes funções são continuas ou não no ponto
. Justifique sua resposta.
(d) A série
( ) diverge
( ) diverge