Encontre o valor de a in R de modo que a
f(x, y)=cc x^2+y^2raizx^2+y^2+1-1, & se (x, y) neq(0,0) a, & se (x, y)=(0,0)
seja continua

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor de que faz com que a função seja contínua. A gente está trabalhando com continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o limite da função quando se aproxima de e igualar esse limite ao valor de .

Passo 2

Primeiro, lembra que uma função de duas variáveis é contínua no ponto lim(x, y) to (0, 0) f(x, y) = f(0, 0) = a se o limite da função quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, queremos que seja contínua em , então precisamos que:

Passo 3

Vamos calcular o limite da função f(x, y) = x^2 + y^2raizx^2 + y^2 + 1 - 1 para (x, y) neq (0, 0) quando limr to 0 r^2raizr^2 + 1 - 1 . A função dada é:
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e . Nesse caso, , e o limite se torna:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador. Multiplicamos numerador e denominador pela conjugada r^2raizr^2 + 1 - 1 cdot raizr^2 + 1 + 1raizr^2 + 1 + 1 = r^2 (raizr^2 + 1 + 1)( raizr^2 + 1)^2 - 1 = r^2 (raizr^2 + 1 + 1)r^2 + 1 - 1 = r^2 (raizr^2 + 1 + 1)r^2 :

Passo 5

Simplificando os r^2 (raizr^2 + 1 + 1)r^2 = raizr^2 + 1 + 1 :
limr to 0 raizr^2 + 1 + 1 = raiz0 + 1 + 1 = 1 + 1 = 2
Agora, podemos calcular o limite quando :

Resposta

Para a função ser contínua em , o valor de deve ser igual a 2.

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