Considere o campo vetorial
em que a e b sāo constantes. Determine valores de a e b para os quais
é um campo conservativo.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um campo vetorial definido por:
O que a gente precisa fazer é encontrar os valores das constantes
e
que fazem esse campo vetorial ser conservativo. Isso envolve um pouco de cálculo vetorial, especificamente trabalhando com campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser expresso como o gradiente de alguma função potencial. Isso é importante porque campos conservativos têm propriedades bem legais, como o fato de que o trabalho realizado ao mover de um ponto a outro é independente do caminho seguido.
Em termos matemáticos, para um campo vetorial
, ele é conservativo se satisfizer a condição:
Essa condição garante que existe uma função potencial cuja derivada parcial em
é
e em
é
.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
e igualá-las.
Passo 4
Calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 5
Para que o campo seja conservativo, essas duas derivadas parciais devem ser iguais:
Vamos reorganizar essa equação para encontrar as constantes
e
:
Fatorando:
Passo 6
Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de
e
, os coeficientes de
e
devem ser iguais a zero:
-
\
Então, -
\
Então,
Resposta
Os valores que tornam o campo vetorial conservativo são
e
.
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onde
é o segmento de reta ligando o ponto
ao ponto
.
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onde
é a regiāo limitada por
.
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, onde
, onde
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
.
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