Considere o campo vetorial
em que a e b sāo constantes. Determine valores de a e b para os quais é um campo conservativo.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um campo vetorial definido por:
O que a gente precisa fazer é encontrar os valores das constantes e que fazem esse campo vetorial ser conservativo. Isso envolve um pouco de cálculo vetorial, especificamente trabalhando com campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser expresso como o gradiente de alguma função potencial. Isso é importante porque campos conservativos têm propriedades bem legais, como o fato de que o trabalho realizado ao mover de um ponto a outro é independente do caminho seguido.
Em termos matemáticos, para um campo vetorial , ele é conservativo se satisfizer a condição:
Essa condição garante que existe uma função potencial cuja derivada parcial em é e em é .

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo vetorial:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e e igualá-las.

Passo 4

Calculando :
Agora, calculando :

Passo 5

Para que o campo seja conservativo, essas duas derivadas parciais devem ser iguais:
Vamos reorganizar essa equação para encontrar as constantes e :
Fatorando:

Passo 6

Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de e , os coeficientes de e devem ser iguais a zero:
  1. \
    Então,
  2. \
    Então,

Resposta

Os valores que tornam o campo vetorial conservativo são e .

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