Determine domínio, imagem e desenhe as curvas de nível das seguintes funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o domínio, a imagem e desenhar as curvas de nível da função
. A gente vai precisar entender conceitos de domínio e imagem de funções de duas variáveis, além de saber como identificar e desenhar curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função
, a gente precisa garantir que o denominador
não seja zero, porque não dá para dividir por zero.
Passo 3
Então, vamos resolver
. Isso só não acontece quando
e
simultaneamente. Portanto, o domínio da função é todo o plano
menos o ponto
. Em notação matemática:
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Para isso, vamos reescrever a função em coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na função:
Passo 5
Sabemos que
. O valor de
varia entre -1 e 1, então:
Portanto, a imagem da função é o intervalo de
a
.
Passo 6
Por fim, vamos desenhar as curvas de nível da função. As curvas de nível são as curvas no plano
onde a função
assume um valor constante
. Ou seja, vamos resolver a equação:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Rearranjando:
Esse é o formato geral de uma equação de cônicas. Dependendo do valor de
, as curvas resultantes serão diferentes, geralmente hipérboles.
Resposta
O domínio da função é
menos o ponto
, a imagem é o intervalo
, e as curvas de nível são hipérboles definidas pela equação
para cada valor de
no intervalo da imagem.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
, onde
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Considere o campo vetorial
em que a e b sāo constantes. Determine valores de a e b para os quais
é um campo conservativo.
Encontre o valor de
de modo que a
seja continua
Determine se as seguintes funções são continuas ou não no ponto
. Justifique sua resposta.