Determine domínio, imagem e desenhe as curvas de nível das seguintes funções

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o domínio, a imagem e desenhar as curvas de nível da função . A gente vai precisar entender conceitos de domínio e imagem de funções de duas variáveis, além de saber como identificar e desenhar curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função , a gente precisa garantir que o denominador não seja zero, porque não dá para dividir por zero.

Passo 3

Então, vamos resolver . Isso só não acontece quando e simultaneamente. Portanto, o domínio da função é todo o plano menos o ponto . Em notação matemática:
í

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Para isso, vamos reescrever a função em coordenadas polares, onde e . Substituindo na função:

Passo 5

Sabemos que . O valor de varia entre -1 e 1, então:
Portanto, a imagem da função é o intervalo de a .

Passo 6

Por fim, vamos desenhar as curvas de nível da função. As curvas de nível são as curvas no plano onde a função assume um valor constante . Ou seja, vamos resolver a equação:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Rearranjando:
Esse é o formato geral de uma equação de cônicas. Dependendo do valor de , as curvas resultantes serão diferentes, geralmente hipérboles.

Resposta

O domínio da função é menos o ponto , a imagem é o intervalo , e as curvas de nível são hipérboles definidas pela equação para cada valor de no intervalo da imagem.

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