Calcule a integral de linha:
onde
é o segmento de reta ligando o ponto
ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o segmento de reta que liga os pontos
e
.
Estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva
, expressar
e
em termos dessa parametrização, calcular o diferencial de arclength
, e então integrar tudo isso ao longo do intervalo definido.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta
que vai de
a
. Podemos usar o parâmetro
, onde
varia de 0 a 1.
A parametrização geral de uma linha reta entre dois pontos
e
é:
Aplicando aos nossos pontos:
Então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o diferencial de arclength
. Para isso, calculamos as derivadas de
,
e
em relação a
:
O diferencial de arclength é dado por:
Substituindo:
Passo 4
Agora, vamos expressar a função que estamos integrando
em termos de
:
Então:
Passo 5
Substituindo tudo na integral:
Podemos simplificar a constante:
Passo 6
Calculando as integrais separadamente:
- Para
:
Avaliado de 0 a 1:
- Para
:
Avaliado de 0 a 1:
Passo 7
Somando as integrais:
Resposta
A integral de linha é igual a
.