Calcule a integral de linha:
onde é o segmento de reta ligando o ponto ao ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde é o segmento de reta que liga os pontos e .
Estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva , expressar e em termos dessa parametrização, calcular o diferencial de arclength , e então integrar tudo isso ao longo do intervalo definido.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta que vai de a . Podemos usar o parâmetro , onde varia de 0 a 1.
A parametrização geral de uma linha reta entre dois pontos e é:
Aplicando aos nossos pontos:
Então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de arclength . Para isso, calculamos as derivadas de , e em relação a :
O diferencial de arclength é dado por:
Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos expressar a função que estamos integrando em termos de :
Então:

Passo 5

Substituindo tudo na integral:
Podemos simplificar a constante:

Passo 6

Calculando as integrais separadamente:
  1. Para :
Avaliado de 0 a 1:
  1. Para :
Avaliado de 0 a 1:

Passo 7

Somando as integrais:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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onde é a regiāo limitada por .
Determine o vetor tangente unitário da função vetorial:
Considere o campo vetorial
em que a e b sāo constantes. Determine valores de a e b para os quais é um campo conservativo.
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