Calcule a integral de linha:
integralC z+y^2 d s
onde C é o segmento de reta ligando o ponto (3,4,0) ao ponto (1,4,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC z + y^2 , ds
onde é o segmento de reta que liga os pontos e .
Estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva , expressar e em termos dessa parametrização, calcular o diferencial de arclength , e então integrar tudo isso ao longo do intervalo definido.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta r(t) = P0 + t(P1 - P0) que vai de r(t) = (3, 4, 0) + t[(1, 4, 2) - (3, 4, 0)] = (3 - 2t, 4, 0 + 2t) a x(t) = 3 - 2t y(t) = 4 z(t) = 2t . Podemos usar o parâmetro , onde varia de 0 a 1.
A parametrização geral de uma linha reta entre dois pontos e é:
Aplicando aos nossos pontos:
Então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de arclength dxdt = -2 dydt = 0 dzdt = 2 . Para isso, calculamos as derivadas de ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt , ds = raiz(-2)^2 + 0^2 + 2^2 , dt = raiz4 + 0 + 4 , dt = raiz8 , dt = 2raiz2 , dt e em relação a :
O diferencial de arclength é dado por:
Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos expressar a função que estamos integrando z(t) = 2t y(t) = 4 Rightarrow y^2(t) = 16 em termos de z(t) + y^2(t) = 2t + 16 :
Então:

Passo 5

Substituindo tudo na integral:
integralC z + y^2 , ds = integral0^1 (2t + 16) cdot 2raiz2 , dt
Podemos simplificar a constante:
2raiz2 integral0^1 (2t + 16) , dt = 2raiz2 [ integral0^1 2t , dt + integral0^1 16 , dt ]

Passo 6

Calculando as integrais separadamente:
  1. Para integral 2t , dt = t^2 + C :
1^2 - 0^2 = 1
Avaliado de 0 a 1:
integral 16 , dt = 16t + C
  1. Para 16(1) - 16(0) = 16 :
Avaliado de 0 a 1:

Passo 7

Somando as integrais:
2raiz2 ( 1 + 16 ) = 2raiz2 times 17 = 34raiz2

Resposta

A integral de linha é igual a .

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