Resolva a equação diferencial dada por Cauchy-Euler:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Cauchy-Euler que a gente tem aqui:
Esse tipo de equação é especial porque tem coeficientes que são potências de
. Para resolver, vamos precisar entender o método específico para equações de Cauchy-Euler, que envolve assumir soluções na forma
.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma
, onde
é um número que vamos descobrir. Isso porque, para equações de Cauchy-Euler, essa é uma boa suposição para simplificar a equação.
Passo 3
Com essa suposição, precisamos encontrar as derivadas de
. Vamos lá:
A primeira derivada de
em relação a
é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Agora, vamos substituir
,
e
na equação original:
Vamos simplificar cada termo:
-
-
-
(fica igual)
Passo 5
Substituindo de volta na equação:
Podemos fatorar
:
Como
nunca é zero para
, a parte dentro dos colchetes deve ser zero:
Passo 6
Vamos resolver essa equação quadrática para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Passo 7
Com os valores de
encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Onde
e
são constantes que a gente determina com condições iniciais, se tiver.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Use o teorema de Green para calcular a área da região limitada pelo astróide
, cuja parametrização é dada por
.
Figura 3: Astróide.
Calcule
, em que
é o parabolóide
em
(plano) e U é igual a:
(a) 1.
(a) 1.
Encontre a solução geral para cada equação diferencial:
Encontre a solução geral para cada equação diferencial: