Resolva a equação diferencial dada por Cauchy-Euler:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Cauchy-Euler que a gente tem aqui:
Esse tipo de equação é especial porque tem coeficientes que são potências de . Para resolver, vamos precisar entender o método específico para equações de Cauchy-Euler, que envolve assumir soluções na forma .

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma , onde é um número que vamos descobrir. Isso porque, para equações de Cauchy-Euler, essa é uma boa suposição para simplificar a equação.

Passo 3

Com essa suposição, precisamos encontrar as derivadas de . Vamos lá:
A primeira derivada de em relação a é:
E a segunda derivada é:

Passo 4

Agora, vamos substituir , e na equação original:
Vamos simplificar cada termo:
  • (fica igual)

Passo 5

Substituindo de volta na equação:
Podemos fatorar :
Como nunca é zero para , a parte dentro dos colchetes deve ser zero:

Passo 6

Vamos resolver essa equação quadrática para :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:

Passo 7

Com os valores de encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Onde e são constantes que a gente determina com condições iniciais, se tiver.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Use o teorema de Green para calcular a área da região limitada pelo astróide , cuja parametrização é dada por .
Figura 3: Astróide.
Calcule , em que é o parabolóide em (plano) e U é igual a:
(a) 1.
Encontre a solução geral para cada equação diferencial:
Encontre a solução geral para cada equação diferencial: