Calcule é a parte do cone que está entre os planos
e no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde é uma parte do cone definido por , entre os planos e , só no primeiro octante (ou seja, onde , e são positivos). Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas e entender como parametrizar a superfície e calcular o elemento de área .

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, que são super úteis para trabalhar com cones. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
No caso do nosso cone , substituindo as coordenadas cilíndricas, fica:
Então, sabemos que , já que estamos no primeiro octante e é positivo.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície usando e como parâmetros. Como , podemos expressar a posição em coordenadas cilíndricas como:
Aqui, varia de a (já que vai de a e ), e varia de a (porque estamos no primeiro octante).

Passo 4

Precisamos calcular o elemento de área para a integral. Em coordenadas parametrizadas, é dado pelo módulo do produto vetorial dos vetores derivadas parciais:
Calculando as derivadas:
Agora, o produto vetorial:
Calculando o determinante:
Agora, o módulo desse vetor:
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos expressar a função que estamos integrando, , em coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Portanto:

Passo 6

Vamos agora montar a integral dupla com os limites que definimos. Lembrando que vai de a e vai de a . A integral fica:
Primeiro, vamos integrar em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral de :
Fazendo a substituição , :
Aplicando os limites de a :
Agora, substituindo de volta na integral:
Simplificando:
Mas podemos deixar em termos fracionários:

Resposta

A integral vale .

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