O campo de velocidade de um fluido é dado por
e
é a superficie da região delimitada pelos parabolóides
. Determine o fluxo do campo através da superfície
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo de um campo de velocidade através de uma superfície
. O campo de velocidade é
. A superfície
está delimitada pelos parabolóides
e
.
Matéria envolvida: Cálculo de fluxos através de superfícies utilizando o Teorema da Divergência.
O que vamos precisar:
- Entender o que é fluxo de um campo vetorial através de uma superfície.
- Aplicar o Teorema da Divergência para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
é uma medida de quanta “quantidade” do campo passa através dessa superfície. Matematicamente, é dado pela integral de superfície:
Contudo, calcular essa integral diretamente pode ser complicado. Aí entra o Teorema da Divergência, que relaciona essa integral de superfície com uma integral de volume, tornando o cálculo mais fácil.
Passo 3
O Teorema da Divergência diz que:
Onde:
-
é o volume delimitado pela superfície . -
é a divergência do campo .
Então, para usar o teorema, precisamos calcular a divergência de
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência
. Para um campo vetorial
, a divergência é:
No nosso caso:
Calculando cada derivada:
Portanto:
Passo 5
Agora que temos a divergência, vamos configurar a integral de volume. O volume
está entre os parabolóides
e
.
Para encontrar os limites de integração, vamos encontrar onde esses parabolóides se intersectam:
Então, a região de
e
é um círculo com raio
.
Para facilitar, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
Em coordenadas cilíndricas, a divergência
.
Passo 6
Agora, configuramos a integral de volume em coordenadas cilíndricas:
Aqui,
vai de 0 a
,
de 0 a
, e
de
a
.
Passo 7
Vamos primeiro integrar em relação a
:
Agora, substituímos isso na integral:
Passo 8
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Integrando termo a termo:
Avaliado de 0 a
:
Calculando:
Portanto:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O fluxo do campo através da superfície
é
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo:
Calcule
é a parte do cone
que está entre os planos
e no primeiro octante.
e
Calcule os limites abaixo:
Determine, se possível, as constantes
e
de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto
, sendo: