O campo de velocidade de um fluido é dado por e é a superficie da região delimitada pelos parabolóides . Determine o fluxo do campo através da superfície .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo de um campo de velocidade através de uma superfície . O campo de velocidade é . A superfície está delimitada pelos parabolóides e .
Matéria envolvida: Cálculo de fluxos através de superfícies utilizando o Teorema da Divergência.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é fluxo de um campo vetorial através de uma superfície.
  • Aplicar o Teorema da Divergência para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é uma medida de quanta “quantidade” do campo passa através dessa superfície. Matematicamente, é dado pela integral de superfície:
Contudo, calcular essa integral diretamente pode ser complicado. Aí entra o Teorema da Divergência, que relaciona essa integral de superfície com uma integral de volume, tornando o cálculo mais fácil.

Passo 3

O Teorema da Divergência diz que:
Onde:
  • é o volume delimitado pela superfície .
  • é a divergência do campo .
Então, para usar o teorema, precisamos calcular a divergência de .

Passo 4

Vamos calcular a divergência . Para um campo vetorial , a divergência é:
No nosso caso:
Calculando cada derivada:
Portanto:

Passo 5

Agora que temos a divergência, vamos configurar a integral de volume. O volume está entre os parabolóides e .
Para encontrar os limites de integração, vamos encontrar onde esses parabolóides se intersectam:
Então, a região de e é um círculo com raio .
Para facilitar, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
Em coordenadas cilíndricas, a divergência .

Passo 6

Agora, configuramos a integral de volume em coordenadas cilíndricas:
Aqui, vai de 0 a , de 0 a , e de a .

Passo 7

Vamos primeiro integrar em relação a :
Agora, substituímos isso na integral:

Passo 8

Vamos integrar primeiro em relação a :
Integrando termo a termo:
Avaliado de 0 a :
Calculando:
Portanto:

Passo 9

Agora, integramos em relação a :

Resposta

O fluxo do campo através da superfície é .

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