Calcule o trabalho realizado pelo campo de força
para mover uma partícula sobre
que é a fronteira do plano
com
e
, no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo do trabalho realizado por um campo de força. O enunciado nos pede para calcular o trabalho feito pelo campo
ao mover uma partícula ao longo da trajetória
, que é a fronteira do plano
no quadrado
e
, no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar usar o conceito de trabalho em campos de força, que é calculado através de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o trabalho realizado por um campo de força ao longo de uma curva
é dado pela integral de linha:
Aqui,
é o campo de força e
é o vetor deslocamento ao longo da curva.
Passo 3
Vamos substituir o campo de força
na integral:
Como a trajetória
está no plano
, o valor de
é sempre 0. Portanto,
, e o campo de força simplifica para:
Passo 4
Agora, a integral do trabalho fica:
Isso porque o componente em
do campo de força é zero, então não há contribuição de
.
Passo 5
Vamos parametrizar a curva
que é o contorno do quadrado
e
no sentido anti-horário. A curva pode ser dividida em quatro segmentos:
- De
a : , varia de 0 a 1. - De
a : , varia de 0 a 1. - De
a : , varia de 1 a 0. - De
a : , varia de 1 a 0.
Passo 6
Vamos calcular a integral em cada segmento:
-
Segmento 1:
, de 0 a 1. -
Segmento 2:
, de 0 a 1. Aqui, comoé constante, , então o trabalho é zero. -
Segmento 3:
, de 1 a 0. -
Segmento 4:
, de 1 a 0. Novamente,é constante, então , e o trabalho é zero.
Passo 7
Agora, somamos os trabalhos de todos os segmentos:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força ao mover a partícula ao longo da trajetória
é igual a zero.
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