Determine os valores máximos e mínimos da função:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximos e mínimos da função
no intervalo de
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar os pontos onde a função atinge seus valores extremos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a identificar onde a função tem taxas de variação iguais a zero, ou seja, onde a função pode ter máximos ou mínimos.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada
é igual a zero:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
. Podemos fatorar:
Assim, as soluções são:
Estes são os pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos.
Passo 5
Para determinar se esses pontos críticos correspondem a máximos ou mínimos, vamos avaliar a segunda derivada ou analisar a mudança de sinal da primeira derivada. Mas, como estamos trabalhando de forma mais simples, vamos calcular o valor da função nos pontos críticos e também nos extremos do intervalo para comparar.
Passo 6
Vamos calcular os valores de
nos seguintes pontos:
-
(extremo do intervalo) -
(ponto crítico) -
(ponto crítico) -
(extremo do intervalo)
Calculando:
Passo 7
Agora, vamos comparar os valores obtidos:
Observamos que os valores máximos são 6 e ocorrem em
e
, e os valores mínimos são 2 e ocorrem em
e
.
Resposta
Os valores máximos da função são 6, atingidos em
e
, e os valores mínimos são 2, atingidos em
e
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das seguintes funções
:
f)
f)
Estude os sinais das seguintes funções definidas em
:
a)
a)
Esboce o gráfico e determine a imagem e a forma canônica de cada uma das seguintes funções quadráticas, explicitando:
- eixo de simetria;
- coordenadas do vértice;
- intersecção com o eixo
e - intersecções com o eixo
, se houverem.
e)
Calcule a integral
com
e
a superfície do cilindro
e
.