Determine os valores máximos e mínimos da função:
f(x) = x^3 - 6 x^2 + 9 x + 2, 0 <= x <= 4

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximos e mínimos da função no intervalo de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar os pontos onde a função atinge seus valores extremos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a identificar onde a função tem taxas de variação iguais a zero, ou seja, onde a função pode ter máximos ou mínimos.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde a derivada é igual a zero:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática . Podemos fatorar:
Assim, as soluções são:
Estes são os pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos.

Passo 5

Para determinar se esses pontos críticos correspondem a máximos ou mínimos, vamos avaliar a segunda derivada ou analisar a mudança de sinal da primeira derivada. Mas, como estamos trabalhando de forma mais simples, vamos calcular o valor da função nos pontos críticos e também nos extremos do intervalo para comparar.

Passo 6

Vamos calcular os valores de nos seguintes pontos:
  • (extremo do intervalo)
  • (ponto crítico)
  • (ponto crítico)
  • (extremo do intervalo)
Calculando:

Passo 7

Agora, vamos comparar os valores obtidos:
Observamos que os valores máximos são 6 e ocorrem em e , e os valores mínimos são 2 e ocorrem em e .

Resposta

Os valores máximos da função são 6, atingidos em e , e os valores mínimos são 2, atingidos em e .

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