Esboce o gráfico e determine a imagem e a forma canônica de cada uma das seguintes funções quadráticas, explicitando:
  • eixo de simetria;
  • coordenadas do vértice;
  • intersecção com o eixo e
  • intersecções com o eixo , se houverem.
    e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função quadrática . A gente vai precisar usar alguns conceitos de funções do segundo grau, como eixo de simetria, vértice, interseções com os eixos e . Vou te explicar cada parte enquanto a gente resolve.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o eixo de simetria da parábola. O eixo de simetria de uma função quadrática da forma é dado pela fórmula . Na nossa função, e . Então:
Portanto, o eixo de simetria é a reta vertical .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola. O vértice está localizado no ponto onde . Para achar o do vértice, substituímos na função:
Então, o vértice é .

Passo 4

Vamos determinar a interseção com o eixo . Isso acontece quando . Substituindo na função:
Então, a interseção com o eixo é no ponto .

Passo 5

Por fim, vamos encontrar as interseções com o eixo , se existirem. Isso significa resolver :
Multiplicando todos os termos por para facilitar:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Aqui, , , e . Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é negativo ( ), não existem interseções reais com o eixo .

Resposta

O gráfico da função possui eixo de simetria em , vértice em , interseção com o eixo no ponto e não possui interseções reais com o eixo .

Exercícios relacionados

Determine os valores máximos e mínimos da função:
Esboce o gráfico das seguintes funções :
f)
Calcule a integral
com e a superfície do cilindro e .
(h)