Faça o que se pede: (b) Descreva a relação entre o vetor gradiente e as curvas de nível da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa falar sobre como o vetor gradiente se relaciona com as curvas de nível de uma função
. Isso está relacionado ao cálculo multivariável, especificamente ao estudo de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Para uma função
, uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante, ou seja,
, onde
é uma constante.
Passo 3
Agora, o que é o vetor gradiente? O gradiente de uma função
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Ele é calculado pelas derivadas parciais:
Passo 4
A relação entre o gradiente e as curvas de nível é que o gradiente é sempre perpendicular (ou normal) às curvas de nível. Isso significa que se você desenhar o vetor gradiente em qualquer ponto da curva de nível, ele vai formar um ângulo de 90 graus com a curva naquele ponto.
Passo 5
Por que isso acontece? Bem, se você se move ao longo de uma curva de nível, o valor de
não muda, então a derivada da função nessa direção é zero. Já o gradiente aponta na direção onde a função aumenta mais rapidamente, que é perpendicular à direção na qual a função não muda.
Resposta
O vetor gradiente de
aponta na direção de maior aumento da função e é sempre perpendicular às curvas de nível de
. Assim, o gradiente é normal às curvas de nível da função
.
Exercícios relacionados
Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície
dada por
, no ponto
.
Calcule
, onde
é a superfície do parabolóide
que está acima do plano
.
Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre:
a)
a)