(3,0 p)- Calcule onde e , com de maneira direta e usando o teorema de Stokes. Considere a normal a superfície apontando para cima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície de sobre a superfície . Aqui, e com . Vamos usar cálculo vetorial, especificamente o cálculo de integrais de superfície e o Teorema de Stokes. Para isso, vamos precisar calcular o rotacional de , parametrizar a superfície e entender como aplicar o Teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de , que é . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Então,
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a superfície e encontrar o vetor normal à superfície. A superfície é dada por , com (ou seja, dentro do círculo de raio 1 no plano ).
Para encontrar o vetor normal , precisamos calcular os vetores tangentes e :
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Como a normal deve apontar para cima, estamos de boa com esse vetor normal.
integral duplaS rot(F) cdot dS = integral duplaD (2u - 2v - 1) , du , dv
Agora, nossa integral de superfície fica:
Onde é o domínio , ou seja, o disco de raio 1.
Passo 5
Vamos separar essa integral em três partes:
integral duplaD 2u , du , dv - integral duplaD 2v , du , dv - integral duplaD 1 , du , dv
Agora, observamos que devido à simetria do domínio 2 cdot 0 - 2 cdot 0 - pi = -pi :
e porque e são funções ímpares em domínios simétricos.
é simplesmente a área do disco, que é .
Então, temos:
Passo 6
Portanto, a integral de superfície é:
integral duplaS rot(F) cdot dS = -pi
Passo 7
Agora, vamos verificar usando o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de r(theta) = (costheta, sintheta, 1), 0 <= theta <= 2pi com a integral de linha de dr = (-sintheta, costheta, 0) dtheta ao redor da borda de F(r(theta)) = ( sintheta, 0, costheta + sintheta ) .
A borda de F cdot dr = sintheta cdot (-sintheta) + 0 cdot costheta + (costheta + sintheta) cdot 0 = -sin^2theta é o círculo ointC F cdot dr = -integral0^2pi sin^2theta , dtheta = -pi , ou seja, , onde varia de a .
Parametrizamos por :
Calculamos :
Agora, avaliamos ao longo de :
Calculamos o produto escalar :
Agora, integramos de a :
(Usamos que )
Isso confirma que a integral de superfície calculada diretamente é igual à integral de linha pelo Teorema de Stokes.