(3,0 p)- Calcule integral duplaS rot(F) cdot d S onde F(x, y, z)=(y, 0, x+y) e S(u, v)=(u, v, 2- u^2-v^2), com u^2+v^2 <= 1 de maneira direta e usando o teorema de Stokes. Considere a normal a superfície S apontando para cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície de sobre a superfície . Aqui, e com . Vamos usar cálculo vetorial, especificamente o cálculo de integrais de superfície e o Teorema de Stokes. Para isso, vamos precisar calcular o rotacional de , parametrizar a superfície e entender como aplicar o Teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de rot(F) = nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y ) , que é rot(F) = (1 - 0, 0 - 1, 0 - 1) = (1, -1, -1) . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Então,

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície Su = partial Spartial u = (1, 0, -2u) e encontrar o vetor normal à superfície. A superfície é dada por Sv = partial Spartial v = (0, 1, -2v) , com dS = Su times Sv = i & j & k 1 & 0 & -2u 0 & 1 & -2v = ( (0)(-2v) - (-2u)(1), - (1)(-2v) - (-2u)(0), (1)(1) - (0)(0) ) = (2u, 2v, 1) (ou seja, dentro do círculo de raio 1 no plano ).
Para encontrar o vetor normal , precisamos calcular os vetores tangentes e :
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Como a normal deve apontar para cima, estamos de boa com esse vetor normal.

Passo 4

Vamos agora calcular o produto escalar rot(F) cdot dS = (1, -1, -1) cdot (2u, 2v, 1) = 1 cdot 2u + (-1) cdot 2v + (-1) cdot 1 = 2u - 2v - 1 :
integral duplaS rot(F) cdot dS = integral duplaD (2u - 2v - 1) , du , dv
Agora, nossa integral de superfície fica:
Onde é o domínio , ou seja, o disco de raio 1.

Passo 5

Vamos separar essa integral em três partes:
integral duplaD 2u , du , dv - integral duplaD 2v , du , dv - integral duplaD 1 , du , dv
Agora, observamos que devido à simetria do domínio 2 cdot 0 - 2 cdot 0 - pi = -pi :
  • e porque e são funções ímpares em domínios simétricos.
  • é simplesmente a área do disco, que é .
Então, temos:

Passo 6

Portanto, a integral de superfície é:
integral duplaS rot(F) cdot dS = -pi

Passo 7

Agora, vamos verificar usando o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de r(theta) = (costheta, sintheta, 1), 0 <= theta <= 2pi com a integral de linha de dr = (-sintheta, costheta, 0) dtheta ao redor da borda de F(r(theta)) = ( sintheta, 0, costheta + sintheta ) .
A borda de F cdot dr = sintheta cdot (-sintheta) + 0 cdot costheta + (costheta + sintheta) cdot 0 = -sin^2theta é o círculo ointC F cdot dr = -integral0^2pi sin^2theta , dtheta = -pi , ou seja, , onde varia de a .
Parametrizamos por :
Calculamos :
Agora, avaliamos ao longo de :
Calculamos o produto escalar :
Agora, integramos de a :
(Usamos que )
Isso confirma que a integral de superfície calculada diretamente é igual à integral de linha pelo Teorema de Stokes.

Resposta

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