Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
© cos(x) dy = (1 - y - sen(x)) dx

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão nos pede. Temos a equação diferencial de primeira ordem:
O conteúdo da matéria envolvido aqui é equações diferenciais de primeira ordem e, especificamente, equações lineares que podem ser resolvidas usando um fator integrante. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e identificar os termos necessários para aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação para a forma padrão de uma equação diferencial linear:
Dividindo ambos os lados da equação original por cos(x), temos:
Rearranjando os termos para se adequar à forma padrão:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a tornar a equação diferencial exata. O fator integrante mu(x) é dado por:
Substituindo P(x):
Sabemos que , então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela mu(x):
A esquerda da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
Simplificando a integral à direita:
Vamos simplificar o integrando:
Simplificando:
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Agora, isolamos y dividindo ambos os lados por :
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por cos(x):

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados