Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão nos pede. Temos a equação diferencial de primeira ordem:
O conteúdo da matéria envolvido aqui é equações diferenciais de primeira ordem e, especificamente, equações lineares que podem ser resolvidas usando um fator integrante. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e identificar os termos necessários para aplicar o método do fator integrante.
Passo 2
Vamos reorganizar a equação para a forma padrão de uma equação diferencial linear:
Dividindo ambos os lados da equação original por
, temos:
Rearranjando os termos para se adequar à forma padrão:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a tornar a equação diferencial exata. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela
:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Simplificando a integral à direita:
Vamos simplificar o integrando:
Simplificando:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
®
®
(3,0 p)- Calcule
onde
e
, com
de maneira direta e usando o teorema de Stokes. Considere a normal a superfície
apontando para cima.
(3,0 p) - Determine se as séries convergem:
b)
b)
Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
(e)
(e)