Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
§
§
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem juntos! O enunciado nos dá uma equação que não é exata, então precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata e, assim, poder resolver. Vamos usar conceitos de equações diferenciais e fatores integrantes para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação:
A equação está na forma
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Comparando, vemos que:
Isso significa que a equação já é exata!
Passo 4
Como a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Simplificando:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, temos a função potencial completa:
Para resolver a equação, igualamos
a uma constante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(o)
(o)
Se
, então
(3,0 p)- Calcule
onde
e
, com
de maneira direta e usando o teorema de Stokes. Considere a normal a superfície
apontando para cima.
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
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