Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
§ (3 x^2 tg(y) - 2 y^3 / x^3) + (x^3 sec^2(y) + 4 y^3 + 3 y^2 / x^2) y' = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem juntos! O enunciado nos dá uma equação que não é exata, então precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata e, assim, poder resolver. Vamos usar conceitos de equações diferenciais e fatores integrantes para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação:
A equação está na forma .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Comparando, vemos que:
Isso significa que a equação já é exata!

Passo 4

Como a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Simplificando:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, temos a função potencial completa:
Para resolver a equação, igualamos a uma constante:

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados