Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(o) e^(x+y^2) dx + 2y e^(x+y^2) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais exatas e a busca por um fator integrante para tornar a equação exata. Vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como encontrar esse fator integrante quando ela não é exata inicialmente.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial no formato é exata se satisfaz a condição . Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Observamos que:
Portanto, a equação já é exata e não precisamos de um fator integrante. Mas como o enunciado pede para determinar um fator integrante para as não-exatas, pode haver um erro ou queremos confirmar.

Passo 3

Mesmo que a equação pareça exata, vamos seguir o procedimento para encontrar um fator integrante geral caso seja necessário. Geralmente, tentamos fatores que dependem só de x ou só de y. Suponha que o fator integrante seja mu(x), então a equação multiplicada por mu(x) deve ser exata:
A condição de exatidão agora será:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Para que isso seja válido para todo y, devemos ter , o que implica que mu(x) é constante. Assim, realmente não precisamos de um fator integrante diferente de uma constante, confirmando que a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial F(x, y) tal que:
Vamos integrar M em relação a x para encontrar F:
Agora, derivamos F em relação a y e igualamos a N:
Isso implica que , então é uma constante. Podemos ignorar essa constante na solução geral.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde C é uma constante.

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