Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(o)
(o)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais exatas e a busca por um fator integrante para tornar a equação exata. Vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como encontrar esse fator integrante quando ela não é exata inicialmente.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial no formato
é exata se satisfaz a condição
. Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Observamos que:
Portanto, a equação já é exata e não precisamos de um fator integrante. Mas como o enunciado pede para determinar um fator integrante para as não-exatas, pode haver um erro ou queremos confirmar.
Passo 3
Mesmo que a equação pareça exata, vamos seguir o procedimento para encontrar um fator integrante geral caso seja necessário. Geralmente, tentamos fatores que dependem só de
ou só de
. Suponha que o fator integrante seja
, então a equação multiplicada por
deve ser exata:
A condição de exatidão agora será:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Para que isso seja válido para todo
, devemos ter
, o que implica que
é constante. Assim, realmente não precisamos de um fator integrante diferente de uma constante, confirmando que a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos ignorar essa constante na solução geral.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.