Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
®

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que a gente tem aqui:
Essa equação não está na forma exata, ou seja, não está pronta para a gente integrar diretamente. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar encontrar um fator integrante que vai ajudar a tornar a equação exata, facilitando assim a resolução. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para colocá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Dividindo ambos os lados por :
Mas essa forma ainda não é muito útil. Então, vamos tentar rearranjar a equação para identificar melhor os termos que nos ajudarão a encontrar o fator integrante.

Passo 3

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por para simplificar:
Agora, vamos reescrever como :
Isso nos leva a:
Ainda assim, a equação não está na forma exata, então precisamos encontrar um fator que, quando multiplicarmos a equação por ele, torne a equação exata.

Passo 4

Para encontrar o fator integrante, vamos lembrar que uma equação diferencial na forma é exata se . Se não for exata, podemos buscar um fator que depende apenas de ou apenas de .
Vamos reescrever nossa equação na forma diferencial:
Aqui, e .
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que depende apenas de .

Passo 5

O fator integrante para a equação não exata pode ser encontrado usando a fórmula:
Substituindo os valores que calculamos:
Aqui, percebemos que ainda temos uma variável na integral, o que indica que nosso fator integrante pode não depender apenas de . Nesse caso, vamos tentar encontrar um fator que depende de .

Passo 6

Vamos supor que o fator integrante depende apenas de . A fórmula para o fator integrante nesse caso é:
Substituindo os valores:
Então, o fator integrante é .

Passo 7

Agora, vamos multiplicar toda a equação diferencial original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, verificamos se a equação está exata:
Calculando as derivadas parciais novamente:
Como , a equação agora é exata!

Passo 8

Com a equação exata, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que:
Integrando :
Portanto, a função potencial é:

Passo 9

Para encontrar a solução geral da equação diferencial, igualamos a função potencial a uma constante:
Podemos reescrever isso como:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

(3,0 p)- Calcule onde e , com de maneira direta e usando o teorema de Stokes. Considere a normal a superfície apontando para cima.
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
§
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
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(3,0 p) - Determine se as séries convergem:
b)