Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
®
®
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que a gente tem aqui:
Essa equação não está na forma exata, ou seja, não está pronta para a gente integrar diretamente. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar encontrar um fator integrante que vai ajudar a tornar a equação exata, facilitando assim a resolução. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para colocá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Dividindo ambos os lados por
:
Mas essa forma ainda não é muito útil. Então, vamos tentar rearranjar a equação para identificar melhor os termos que nos ajudarão a encontrar o fator integrante.
Passo 3
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para simplificar:
Agora, vamos reescrever
como
:
Isso nos leva a:
Ainda assim, a equação não está na forma exata, então precisamos encontrar um fator que, quando multiplicarmos a equação por ele, torne a equação exata.
Passo 4
Para encontrar o fator integrante, vamos lembrar que uma equação diferencial na forma
é exata se
. Se não for exata, podemos buscar um fator que depende apenas de
ou apenas de
.
Vamos reescrever nossa equação na forma diferencial:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante
que depende apenas de
.
Passo 5
O fator integrante
para a equação não exata pode ser encontrado usando a fórmula:
Substituindo os valores que calculamos:
Aqui, percebemos que ainda temos uma variável
na integral, o que indica que nosso fator integrante pode não depender apenas de
. Nesse caso, vamos tentar encontrar um fator que depende de
.
Passo 6
Vamos supor que o fator integrante
depende apenas de
. A fórmula para o fator integrante nesse caso é:
Substituindo os valores:
Então, o fator integrante é
.
Passo 7
Agora, vamos multiplicar toda a equação diferencial original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, verificamos se a equação está exata:
Calculando as derivadas parciais novamente:
Como
, a equação agora é exata!
Passo 8
Com a equação exata, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que:
Integrando
:
Portanto, a função potencial é:
Passo 9
Para encontrar a solução geral da equação diferencial, igualamos a função potencial a uma constante:
Podemos reescrever isso como:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
(3,0 p)- Calcule
onde
e
, com
de maneira direta e usando o teorema de Stokes. Considere a normal a superfície
apontando para cima.
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
§
§
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
©
©
(3,0 p) - Determine se as séries convergem:
b)
b)