Calcule integral duplaS Rot(F) cdot d S, onde S é o elipsoide 4 x^2+9 y^2+6 z^2=36 e F(x, y, z)= x^2 i+sen(x^2+y^2+z^2) j+tg(x^2+y^2+z^2) k.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral dupla de Rotação (ou Rot) do campo vetorial sobre a superfície , que é um elipsoide dado por . O campo vetorial é . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência) e algumas propriedades dos campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é a Rotação (ou Rot) de um campo vetorial. A Rotação de , denotada por , mede a tendência do campo de girar em torno de um ponto. Calculamos isso usando derivadas parciais das componentes de .

Passo 3

Vamos calcular nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z x^2 & sin(x^2+y^2+z^2) & tan(x^2+y^2+z^2) . Com nabla times F = ( partialpartial y tan(x^2+y^2+z^2) - partialpartial z sin(x^2+y^2+z^2) ) i - ( partialpartial x tan(x^2+y^2+z^2) - partialpartial z x^2 ) j + ( partialpartial x sin(x^2+y^2+z^2) - partialpartial y x^2 ) k , temos:
nabla times F = ( sec^2(x^2+y^2+z^2) cdot 2y - cos(x^2+y^2+z^2) cdot 2z ) i - ( sec^2(x^2+y^2+z^2) cdot 2x - 0 ) j + ( cos(x^2+y^2+z^2) cdot 2x - 0 ) k
Calculando o determinante:
Simplificando as derivadas:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral da Rotação de sobre a superfície . Porém, antes de irmos calcular diretamente essa integral complicada, vamos lembrar de um teorema poderoso: o Teorema de Stokes.

Passo 5

O Teorema de Stokes relaciona a integral da Rotação de um campo vetorial sobre uma superfície integral duplaS (nabla times F) cdot dS = ointpartial S F cdot dr com a integral de linha do campo vetorial ao longo da borda de . A fórmula é:

Passo 6

No nosso caso, a superfície é um elipsoide fechado. Isso significa que não há uma borda, ou seja, é o conjunto vazio. Portanto, a integral de linha ao longo da borda é zero.

Passo 7

Aplicando o Teorema de Stokes, temos:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = 0

Resposta

O valor da integral é zero.

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