Calcule , onde é o elipsoide .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral dupla de Rotação (ou Rot) do campo vetorial sobre a superfície , que é um elipsoide dado por . O campo vetorial é . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência) e algumas propriedades dos campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é a Rotação (ou Rot) de um campo vetorial. A Rotação de , denotada por , mede a tendência do campo de girar em torno de um ponto. Calculamos isso usando derivadas parciais das componentes de .

Passo 3

Vamos calcular . Com , temos:
Calculando o determinante:
Simplificando as derivadas:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral da Rotação de sobre a superfície . Porém, antes de irmos calcular diretamente essa integral complicada, vamos lembrar de um teorema poderoso: o Teorema de Stokes.

Passo 5

O Teorema de Stokes relaciona a integral da Rotação de um campo vetorial sobre uma superfície com a integral de linha do campo vetorial ao longo da borda de . A fórmula é:

Passo 6

No nosso caso, a superfície é um elipsoide fechado. Isso significa que não há uma borda, ou seja, é o conjunto vazio. Portanto, a integral de linha ao longo da borda é zero.

Passo 7

Aplicando o Teorema de Stokes, temos:

Resposta

O valor da integral é zero.

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