Determine os dez primeiros temos das sequências definidas pelas leis de recorrência abaixo:
a) a1 = 2 e a_n = (-1)^n a_{n-1}
b) a1 = 0 e a_n = (a_{n-1})^2 + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os dez primeiros termos de duas sequências definidas por leis de recorrência. A matéria envolvida aqui é a de sequências e séries, e vamos precisar entender como funciona uma sequência definida por uma regra que relaciona cada termo com o anterior. Vamos lá!

Parte a)

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte a) do exercício. A sequência começa com e cada termo seguinte é dado por . Isso significa que para encontrar o próximo termo, a gente pega o termo anterior e multiplica por .

Passo 3

Vamos calcular cada termo passo a passo:
  • : Já sabemos que .
  • : Usando a fórmula, .
  • : .
  • : .
  • : .
  • : .
  • : .
  • : .
  • : .
  • : .

Passo 4

Agora vamos para a parte b). Aqui, a sequência começa com e cada termo seguinte é definido por . Isso quer dizer que para encontrar , a gente eleva o termo anterior ao quadrado e soma 1.

Passo 5

Vamos calcular os termos um por um:
  • : Já sabemos que .
  • : .
  • : .
  • : .
  • : .
  • : .
  • : .
  • : .
  • : . Esse número é muito grande para calcular manualmente, mas sabemos que a sequência está crescendo rapidamente.
  • : Similarmente, , que será um número ainda maior.

Resposta

Os dez primeiros termos da sequência são:
Os termos a partir de se tornam extremamente grandes.

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