Classificar cada equação a seguir dizendo se elas são lineares ou não-lineares e indicar também a sua ordem:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial, que é basicamente uma equação que relaciona uma função desconhecida com suas derivadas. O objetivo é descobrir se essa equação é linear ou não-linear e também identificar qual é a ordem dela. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma equação ser linear e como identificar a ordem dela.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é uma equação diferencial linear. Uma equação é considerada linear se a função desconhecida e todas as suas derivadas aparecem de forma linear, ou seja, sem serem multiplicadas entre si ou passarem por funções não-lineares (como seno, cosseno, exponenciais, etc.). Além disso, os coeficientes que multiplicam a função e suas derivadas podem ser funções de , mas não da função ou de suas derivadas.

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação que temos:
Aqui, é a função desconhecida, é a primeira derivada, e é a segunda derivada. Observando cada termo:
  • : é a segunda derivada multiplicada por uma função de , que está dentro das condições de linearidade.
  • : a primeira derivada multiplicada por uma função de , também está dentro das condições.
  • : a função multiplicada por uma constante, o que é linear.
  • : termo independente, que não envolve nem suas derivadas.
Nenhum termo envolve produtos entre e suas derivadas, nem funções não-lineares de ou suas derivadas. Portanto, todos os termos estão de acordo com uma equação linear.

Passo 4

Quanto à ordem da equação diferencial, ela é determinada pela maior derivada presente na equação. Aqui, o termo é a segunda derivada de , e não há derivadas de ordem superior. Portanto, a ordem dessa equação é 2.

Resposta

A equação é linear e de segunda ordem.

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Calcule a derivada de primeira ordem das seguintes funções:
;
Racionalize o denominador de cada expressão:
91.
Calcule , onde é o elipsoide .