Classificar cada equação a seguir dizendo se elas são lineares ou não-lineares e indicar também a sua ordem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial, que é basicamente uma equação que relaciona uma função desconhecida com suas derivadas. O objetivo é descobrir se essa equação é linear ou não-linear e também identificar qual é a ordem dela. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma equação ser linear e como identificar a ordem dela.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é uma equação diferencial linear. Uma equação é considerada linear se a função desconhecida e todas as suas derivadas aparecem de forma linear, ou seja, sem serem multiplicadas entre si ou passarem por funções não-lineares (como seno, cosseno, exponenciais, etc.). Além disso, os coeficientes que multiplicam a função e suas derivadas podem ser funções de
, mas não da função
ou de suas derivadas.
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação que temos:
Aqui,
é a função desconhecida,
é a primeira derivada, e
é a segunda derivada. Observando cada termo:
-
: é a segunda derivada multiplicada por uma função de , que está dentro das condições de linearidade. - : a primeira derivada multiplicada por uma função de
, também está dentro das condições. -
: a função multiplicada por uma constante, o que é linear. -
: termo independente, que não envolve nem suas derivadas.
Nenhum termo envolve produtos entre
e suas derivadas, nem funções não-lineares de
ou suas derivadas. Portanto, todos os termos estão de acordo com uma equação linear.
Passo 4
Quanto à ordem da equação diferencial, ela é determinada pela maior derivada presente na equação. Aqui, o termo
é a segunda derivada de
, e não há derivadas de ordem superior. Portanto, a ordem dessa equação é 2.
Resposta
A equação é linear e de segunda ordem.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada de primeira ordem das seguintes funções:
;
Racionalize o denominador de cada expressão:
91.
91.
Calcule
, onde
é o elipsoide
.