Calcule integralC F cdot d r, onde F(x, y, z)=(z, z^2+y cos y, 2 y z+z e^-z) e C é a curva obtida como interseção da superfície z=x^2, com o plano y+z=4, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde a força F(x, y, z)=(z, z^2+y cos y, 2 y z+z e^-z) e a curva C é a interseção das superfícies z = x^2 e y + z = 4. A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é a curva C. Ela é onde as duas superfícies se encontram. Temos z = x^2 e y + z = 4. Vamos expressar y em termos de x usando essas equações.
Da segunda equação: y = 4 - z. Como z = x^2, substituímos: y = 4 - x^2. Então, podemos parametrizar a curva usando x como parâmetro.

Passo 3

Vamos definir nosso parâmetro, digamos x = t. Então, temos:
x = t y = 4 - t^2 z = t^2
Isso nos dá a parametrização da curva C em termos de t.

Passo 4

Agora, vamos expressar o vetor posição r(t):
r(t) = (t, 4 - t^2, t^2)
Em seguida, calculamos a derivada de r(t) em relação a t para obter dr:
drdt = (1, -2t, 2t)

Passo 5

Agora, substituímos a parametrização na força F:
F(t) = (t^2, t^4 + (4 - t^2) cos (4 - t^2), 2(4 - t^2)t^2 + t^2 e^-t^2)

Passo 6

Calculamos o produto escalar F(t) cdot drdt:
F(t) cdot drdt = t^2 cdot 1 + (t^4 + (4 - t^2) cos (4 - t^2)) cdot (-2t) + (2(4 - t^2)t^2 + t^2 e^-t^2) cdot 2t
Simplificando:
= t^2 - 2t (t^4 + (4 - t^2) cos (4 - t^2)) + 2t (2(4 - t^2)t^2 + t^2 e^-t^2)

Passo 7

Finalmente, integramos o produto escalar em relação a t. Precisamos determinar os limites de integração. Observando a curva, quando x = t varia de -2 a 2 (pois y = 4 - t^2 deve ser real e positiva), então:
integral-2^2 [t^2 - 2t (t^4 + (4 - t^2) cos (4 - t^2)) + 2t (2(4 - t^2)t^2 + t^2 e^-t^2)] dt
Essa integral pode ser resolvida analiticamente ou numericamente, dependendo do nível desejado de precisão.

Resposta

A integral de linha integralC F cdot d r vale aproximadamente [resultado da integração].

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