Nos Problemas abaixo, a função indicada é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem, conforme foi ensinado, para encontrar uma segunda solução .
(e)

Passo 1

Beleza, vamos começar! O problema nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
Além disso, já conhecemos uma solução dessa equação, que é . O que precisamos fazer é encontrar uma segunda solução usando um método chamado redução de ordem. Esse método é útil quando já sabemos uma solução de uma equação diferencial linear de segunda ordem e queremos encontrar outra solução independente.

Passo 2

Vamos usar a ideia de redução de ordem assumindo que a segunda solução pode ser escrita como:
onde é uma função que precisamos determinar.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular as derivadas de em relação a . Usando a regra do produto:

Passo 4

Agora, substituímos , e na equação diferencial original:
Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Distribuindo o 6 e agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Sabemos que , então vamos calcular suas derivadas:

Passo 7

Substituindo , e na equação:

Passo 8

Simplificando cada termo:
Somando os termos semelhantes:

Passo 9

Podemos dividir toda a equação por (que nunca é zero) para simplificar:

Passo 10

Agora temos uma equação diferencial de primeira ordem para :
Podemos reescrever como:

Passo 11

Vamos usar uma substituição para resolver essa equação. Seja , então:

Passo 12

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que pode ser resolvida usando o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 13

Multiplicamos a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 14

Integrando ambos os lados:
onde é uma constante de integração.

Passo 15

Resolvendo para :
Lembrando que , temos:

Passo 16

Integrando novamente para encontrar :
onde é outra constante de integração.

Passo 17

Podemos simplificar as constantes, então sem perder generalidade, podemos escrever:

Passo 18

Agora, lembrando que:

Passo 19

Simplificando a expressão exponencial:
Podemos ignorar o fator constante, pois qualquer múltiplo de uma solução é também uma solução válida.

Resposta

A segunda solução da equação diferencial é:

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Calcule a integral tripla
(b) , utilizando coordenadas
Calcule:
, onde é a superfície plana delimitada pelo
triângulo de vértices e e a normal afasta-se da origem;
Nos Problemas abaixo, a função indicada é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem, conforme foi ensinado, para encontrar uma segunda solução .
(h)
Encontre a solução para as EDOs abaixo
(i)