Nos Problemas abaixo, a função indicada
é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem, conforme foi ensinado, para encontrar uma segunda solução
.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos começar! O problema nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
Além disso, já conhecemos uma solução dessa equação, que é
. O que precisamos fazer é encontrar uma segunda solução
usando um método chamado redução de ordem. Esse método é útil quando já sabemos uma solução de uma equação diferencial linear de segunda ordem e queremos encontrar outra solução independente.
Passo 2
Vamos usar a ideia de redução de ordem assumindo que a segunda solução
pode ser escrita como:
onde
é uma função que precisamos determinar.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
em relação a
. Usando a regra do produto:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Distribuindo o 6 e agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Sabemos que
, então vamos calcular suas derivadas:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação:
Passo 8
Simplificando cada termo:
Somando os termos semelhantes:
Passo 9
Podemos dividir toda a equação por
(que nunca é zero) para simplificar:
Passo 10
Agora temos uma equação diferencial de primeira ordem para
:
Podemos reescrever como:
Passo 11
Vamos usar uma substituição para resolver essa equação. Seja
, então:
Passo 12
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que pode ser resolvida usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 13
Multiplicamos a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 14
Integrando ambos os lados:
onde
é uma constante de integração.
Passo 15
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Passo 16
Integrando novamente para encontrar
:
onde
é outra constante de integração.
Passo 17
Podemos simplificar as constantes, então sem perder generalidade, podemos escrever:
Passo 18
Agora, lembrando que:
Passo 19
Simplificando a expressão exponencial:
Podemos ignorar o fator constante, pois qualquer múltiplo de uma solução é também uma solução válida.
Resposta
A segunda solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral tripla
(b) , utilizando coordenadas
(b)
Calcule:
, onde
é a superfície plana delimitada pelo
triângulo de vértices e
e a normal afasta-se da origem;
triângulo de vértices
Nos Problemas abaixo, a função indicada
é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem, conforme foi ensinado, para encontrar uma segunda solução
.
(h)
(h)
Encontre a solução para as EDOs abaixo
(i)
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