Calcule
onde
é a superfície de
em
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular a integral de superfície de um campo vetorial
sobre a superfície
, que é definida pela equação
para
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfície e produto escalar. Para resolver, vamos precisar usar a parametrização da superfície e calcular o vetor normal
.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície
. A equação
representa um paraboloide que abre para baixo. Podemos usar coordenadas polares para facilitar a parametrização. Seja:
onde
varia de
a
(pois
) e
varia de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor normal
à superfície. Para isso, calculamos os vetores tangentes em relação a
e
e depois fazemos o produto vetorial:
Passo 4
Com o vetor normal encontrado, podemos escrever a integral de superfície como:
Substituindo
,
e
:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.
Exercícios relacionados
Ex ENCONTRE O VETOR GRADIENTE
DE
EM
.
Encontre a terceira derivada de cada função:
No parabolóide
, calcule a área da superfície delimitada pelo cilindro
.
Ex DeTERMINAR Rot