Calcule integral duplaS(3 x, 3 y, z) cdot n d S onde S é a superfície de z=9-x^2-y^2 em z >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre a superfície , que é definida pela equação para . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfície e produto escalar. Para resolver, vamos precisar usar a parametrização da superfície e calcular o vetor normal .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície x = r cos theta, y = r sin theta, z = 9 - r^2 . A equação representa um paraboloide que abre para baixo. Podemos usar coordenadas polares para facilitar a parametrização. Seja:
onde varia de a (pois ) e varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal rr = ( cos theta, sin theta, -2r ) à superfície. Para isso, calculamos os vetores tangentes em relação a rtheta = ( -r sin theta, r cos theta, 0 ) e n = rr times rtheta = ( 2r^2 cos theta, 2r^2 sin theta, r ) e depois fazemos o produto vetorial:

Passo 4

Com o vetor normal encontrado, podemos escrever a integral de superfície como:
integral duplaS (3x, 3y, z) cdot n , dS = integral0^2pi integral0^3 (3x cdot 2r^2 cos theta + 3y cdot 2r^2 sin theta + z cdot r ) dr , dtheta
Substituindo = integral0^2pi integral0^3 (3r cos theta cdot 2r^2 cos theta + 3r sin theta cdot 2r^2 sin theta + (9 - r^2) cdot r ) dr , dtheta , e :

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
= integral0^2pi integral0^3 (6r^3 cos^2 theta + 6r^3 sin^2 theta + 9r - r^3 ) dr , dtheta
= integral0^2pi integral0^3 (6r^3 (cos^2 theta + sin^2 theta) + 9r - r^3 ) dr , dtheta
= integral0^2pi integral0^3 (6r^3 (1) + 9r - r^3 ) dr , dtheta
= integral0^2pi integral0^3 (5r^3 + 9r ) dr , dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a integral0^3 (5r^3 + 9r) dr = [ 54 r^4 + 92 r^2 ]0^3 = 54 (81) + 92 (9) = 4054 + 812 = 4054 + 1624 = 5674 :

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral0^2pi 5674 dtheta = 5674 cdot 2pi = 5672 pi :

Resposta

A integral de superfície é igual a .

Exercícios relacionados