Calcule onde é a superfície de em .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre a superfície , que é definida pela equação para . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfície e produto escalar. Para resolver, vamos precisar usar a parametrização da superfície e calcular o vetor normal .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície . A equação representa um paraboloide que abre para baixo. Podemos usar coordenadas polares para facilitar a parametrização. Seja:
onde varia de a (pois ) e varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Para isso, calculamos os vetores tangentes em relação a e e depois fazemos o produto vetorial:

Passo 4

Com o vetor normal encontrado, podemos escrever a integral de superfície como:
Substituindo , e :

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 6

Vamos integrar em relação a :

Passo 7

Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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Ex ENCONTRE O VETOR GRADIENTE

DE EM .
Encontre a terceira derivada de cada função:
No parabolóide , calcule a área da superfície delimitada pelo cilindro .
Ex DeTERMINAR Rot