No parabolóide
, calcule a área da superfície delimitada pelo cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um parabolóide dado pela equação
e queremos encontrar a área da superfície desse parabolóide que está dentro do cilindro
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a fórmula para calcular a área de uma superfície definida por uma função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a área de uma superfície
sobre uma região
no plano
:
Nesse caso, nossa função é
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituímos na fórmula da área:
Passo 4
Como a região
é delimitada pelo cilindro
, que é um círculo de raio 1 centrado na origem, é mais fácil usar coordenadas polares para resolver a integral. Vamos fazer a mudança para coordenadas polares:
A equação
em coordenadas polares fica
. Então, os limites de integração serão
de 0 a 1 e
de 0 a
.
Passo 5
Substituindo na integral:
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Fazendo a substituição
, então
ou
. Quando
,
e quando
,
.
A integral fica:
Passo 6
Agora, voltamos à integral externa:
Resposta
A área da superfície é: