No parabolóide , calcule a área da superfície delimitada pelo cilindro .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um parabolóide dado pela equação e queremos encontrar a área da superfície desse parabolóide que está dentro do cilindro . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a fórmula para calcular a área de uma superfície definida por uma função .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a área de uma superfície sobre uma região no plano :
Nesse caso, nossa função é .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituímos na fórmula da área:
Passo 4
Como a região é delimitada pelo cilindro , que é um círculo de raio 1 centrado na origem, é mais fácil usar coordenadas polares para resolver a integral. Vamos fazer a mudança para coordenadas polares:
A equação em coordenadas polares fica . Então, os limites de integração serão de 0 a 1 e de 0 a .
Passo 5
Substituindo na integral:
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Fazendo a substituição , então ou . Quando , e quando , .