No parabolóide , calcule a área da superfície delimitada pelo cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um parabolóide dado pela equação e queremos encontrar a área da superfície desse parabolóide que está dentro do cilindro . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a fórmula para calcular a área de uma superfície definida por uma função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a área de uma superfície sobre uma região no plano :
Nesse caso, nossa função é .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituímos na fórmula da área:

Passo 4

Como a região é delimitada pelo cilindro , que é um círculo de raio 1 centrado na origem, é mais fácil usar coordenadas polares para resolver a integral. Vamos fazer a mudança para coordenadas polares:
A equação em coordenadas polares fica . Então, os limites de integração serão de 0 a 1 e de 0 a .

Passo 5

Substituindo na integral:
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Fazendo a substituição , então ou . Quando , e quando , .
A integral fica:

Passo 6

Agora, voltamos à integral externa:

Resposta

A área da superfície é:
á

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