em que é a superfície plana delimitada pelo retângulo de vértices , e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o cálculo da integral dupla . Aqui, é uma superfície plana que forma um retângulo com os vértices em , , e . Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e aplicar a fórmula da integral dupla em coordenadas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar essa superfície . Os vértices indicam que está no espaço tridimensional e forma um retângulo inclinado. Observando as coordenadas, percebemos que para cada ponto na superfície, , já que e satisfazem essa equação. Então, podemos usar e como variáveis para parametrizar a superfície.
Passo 3
Vamos parametrizar usando e como parâmetros. Assim, podemos escrever:
Aqui, varia de 0 a 1 e também varia de 0 a 1, cobrindo todo o retângulo.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o elemento de área . Para isso, calculamos os vetores parciais da parametrização:
Em seguida, calculamos o produto vetorial desses vetores:
O módulo desse vetor dá o elemento de área:
Então, .
Passo 5
Agora, substituímos x - y - z = x - (1 - x) - z = 2x - 1 - z , integral duplaS(2x - 1 - z) raiz2 , dx , dz e na função usando a parametrização :
Então, a integral dupla fica:
Passo 6
Vamos integrar agora em relação a raiz2 integral0^1 integral0^1 (2x - 1 - z) , dx , dz e integral0^1 (2x - 1 - z) , dx = [ x^2 - x - zx ]0^1 = (1 - 1 - z) - (0 - 0 - 0) = -z , ambos variando de 0 a 1: