Calcule
integral duplaS(x-y-z) d S
em que S é a superfície plana delimitada pelo retângulo de vértices (1,0,0),(0,1,0), (0,1,1) e (1,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o cálculo da integral dupla . Aqui, é uma superfície plana que forma um retângulo com os vértices em , , e . Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e aplicar a fórmula da integral dupla em coordenadas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar essa superfície . Os vértices indicam que está no espaço tridimensional e forma um retângulo inclinado. Observando as coordenadas, percebemos que para cada ponto na superfície, , já que e satisfazem essa equação. Então, podemos usar e como variáveis para parametrizar a superfície.

Passo 3

Vamos parametrizar r(x, z) = (x, 1 - x, z) usando e como parâmetros. Assim, podemos escrever:
Aqui, varia de 0 a 1 e também varia de 0 a 1, cobrindo todo o retângulo.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o elemento de área rx = partial rpartial x = (1, -1, 0) . Para isso, calculamos os vetores parciais da parametrização:
rz = partial rpartial z = (0, 0, 1)
rx times rz = i & j & k 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 = (-1)(1) - (0)(0) , i - [1(1) - 0(0)] , j + [1(0) - (-1)(0)] , k = (-1, -1, 0)
Em seguida, calculamos o produto vetorial desses vetores:
| rx times rz | = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz1 + 1 = raiz2
O módulo desse vetor dá o elemento de área:
Então, .

Passo 5

Agora, substituímos x - y - z = x - (1 - x) - z = 2x - 1 - z , integral duplaS(2x - 1 - z) raiz2 , dx , dz e na função usando a parametrização :
Então, a integral dupla fica:

Passo 6

Vamos integrar agora em relação a raiz2 integral0^1 integral0^1 (2x - 1 - z) , dx , dz e integral0^1 (2x - 1 - z) , dx = [ x^2 - x - zx ]0^1 = (1 - 1 - z) - (0 - 0 - 0) = -z , ambos variando de 0 a 1:
Integrando primeiro em :

Passo 7

Agora, integramos em raiz2 integral0^1 (-z) , dz = -raiz2 [ z^22 ]0^1 = -raiz2 ( 12 - 0 ) = -raiz22 :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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