em que é a superfície plana delimitada pelo retângulo de vértices , e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o cálculo da integral dupla . Aqui, é uma superfície plana que forma um retângulo com os vértices em , , e . Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e aplicar a fórmula da integral dupla em coordenadas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar essa superfície . Os vértices indicam que está no espaço tridimensional e forma um retângulo inclinado. Observando as coordenadas, percebemos que para cada ponto na superfície, , já que e satisfazem essa equação. Então, podemos usar e como variáveis para parametrizar a superfície.
Passo 3
Vamos parametrizar usando e como parâmetros. Assim, podemos escrever:
Aqui, varia de 0 a 1 e também varia de 0 a 1, cobrindo todo o retângulo.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o elemento de área . Para isso, calculamos os vetores parciais da parametrização:
Em seguida, calculamos o produto vetorial desses vetores:
O módulo desse vetor dá o elemento de área:
Então, .
Passo 5
Agora, substituímos , e na função usando a parametrização :
Então, a integral dupla fica:
Passo 6
Vamos integrar agora em relação a e , ambos variando de 0 a 1: