Calcule
em que é a superfície plana delimitada pelo retângulo de vértices , e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o cálculo da integral dupla . Aqui, é uma superfície plana que forma um retângulo com os vértices em , , e . Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e aplicar a fórmula da integral dupla em coordenadas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar essa superfície . Os vértices indicam que está no espaço tridimensional e forma um retângulo inclinado. Observando as coordenadas, percebemos que para cada ponto na superfície, , já que e satisfazem essa equação. Então, podemos usar e como variáveis para parametrizar a superfície.

Passo 3

Vamos parametrizar usando e como parâmetros. Assim, podemos escrever:
Aqui, varia de 0 a 1 e também varia de 0 a 1, cobrindo todo o retângulo.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o elemento de área . Para isso, calculamos os vetores parciais da parametrização:
Em seguida, calculamos o produto vetorial desses vetores:
O módulo desse vetor dá o elemento de área:
Então, .

Passo 5

Agora, substituímos , e na função usando a parametrização :
Então, a integral dupla fica:

Passo 6

Vamos integrar agora em relação a e , ambos variando de 0 a 1:
Integrando primeiro em :

Passo 7

Agora, integramos em :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
para mover uma partícula sobre uma curva arbitrária que liga os pontos ao ponto .
Onde wé a altura da onda, x é a variável distância ao longo da superfície do mar, é a variável tempo e c é a velocidade com a qual as ondas se propagam.
Mostre que as funções a seguir são todas soluções da equação de onda.
a)
b)
c)
Seja a curva parametrizada por com . Mostre que esta curva representa um arco de parábola e desenhe o gráfico indicando os pontos iniciais e finais.
Seja a curva parametrizada por . Mostre que esta curva representa um arco de parábola e desenhe o gráfico indicando os pontos iniciais e finais.