Seja C a curva parametrizada por r(t) = (t, t^2) com t em [-1, 1]. Mostre que esta curva representa um arco de parábola e desenhe o gráfico indicando os pontos iniciais e finais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a curva , dada por com , é um arco de parábola. Além disso, devemos desenhar o gráfico indicando os pontos inicial e final. Vamos precisar entender sobre curvas paramétricas e a forma da parábola para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma curva parametrizada. A equação nos dá uma forma de descrever pontos no plano em termos de um parâmetro . Isso quer dizer que, para cada valor de no intervalo de -1 a 1, temos um ponto onde e .

Passo 3

Agora, vamos tentar eliminar o parâmetro para ver a relação direta entre e . Sabemos que , então podemos substituir por na segunda equação:
Isso mostra que a relação entre e é , que é a equação de uma parábola.

Passo 4

Como varia de -1 a 1, vamos ver quais são os pontos iniciais e finais. Quando :
E quando :
Então, a curva começa no ponto e termina no ponto .

Passo 5

Para desenhar o gráfico, vamos plotar a parábola e marcar os pontos iniciais e finais que encontramos:
  1. Parábola : É uma curva simétrica em relação ao eixo , com vértice na origem .
  2. Ponto inicial : Está à esquerda do eixo .
  3. Ponto final : Está à direita do eixo .
Nesse intervalo de , a curva vai do ponto passando pelo vértice até o ponto , formando um arco da parábola.

Resposta

A curva parametrizada por com representa um arco da parábola , iniciando no ponto e terminando no ponto .

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