Seja
a curva parametrizada por
com
. Mostre que esta curva representa um arco de parábola e desenhe o gráfico indicando os pontos iniciais e finais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a curva
, dada por
com
, é um arco de parábola. Além disso, devemos desenhar o gráfico indicando os pontos inicial e final. Vamos precisar entender sobre curvas paramétricas e a forma da parábola para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma curva parametrizada. A equação
nos dá uma forma de descrever pontos no plano
em termos de um parâmetro
. Isso quer dizer que, para cada valor de
no intervalo de -1 a 1, temos um ponto
onde
e
.
Passo 3
Agora, vamos tentar eliminar o parâmetro
para ver a relação direta entre
e
. Sabemos que
, então podemos substituir
por
na segunda equação:
Isso mostra que a relação entre
e
é
, que é a equação de uma parábola.
Passo 4
Como
varia de -1 a 1, vamos ver quais são os pontos iniciais e finais. Quando
:
E quando
:
Então, a curva começa no ponto
e termina no ponto
.
Passo 5
Para desenhar o gráfico, vamos plotar a parábola
e marcar os pontos iniciais e finais que encontramos:
- Parábola
: É uma curva simétrica em relação ao eixo , com vértice na origem . - Ponto inicial
: Está à esquerda do eixo . - Ponto final
: Está à direita do eixo .
Nesse intervalo de
, a curva vai do ponto
passando pelo vértice até o ponto
, formando um arco da parábola.
Resposta
A curva
parametrizada por
com
representa um arco da parábola
, iniciando no ponto
e terminando no ponto
.