Seja
a curva parametrizada por
. Mostre que esta curva representa um arco de parábola e desenhe o gráfico indicando os pontos iniciais e finais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a curva
, dada pela parametrização com
variando de
a
, é um arco de parábola. Além disso, precisamos desenhar o gráfico e indicar os pontos inicial e final. Vamos usar conceitos de curvas paramétricas e equações de segundo grau para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva. Temos e . Nosso objetivo é eliminar o parâmetro
e encontrar uma relação direta entre
e
.
Passo 3
Observando que , podemos reescrever isso como . Mas sabemos que , então podemos substituir:
Isso mostra que a relação entre
e
é uma equação de segundo grau, que é a forma geral de uma parábola.
Passo 4
Agora que temos
, confirmamos que a curva
é realmente uma parábola. Para desenhar o gráfico, vamos considerar os valores de
no intervalo
.
Passo 5
Vamos calcular os pontos inicial e final:
-
Para
: Ponto inicial: -
Para
: Ponto final:
Resposta
A curva
representada por é, na verdade, um arco de parábola definido pela equação
. No gráfico, os pontos inicial e final são
e
, respectivamente.
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Seja
a curva parametrizada por
com
. Mostre que esta curva representa um arco de parábola e desenhe o gráfico indicando os pontos iniciais e finais.
Calcule
em que
é a superfície plana delimitada pelo retângulo de vértices
,
e
.
Seja
a curva parametrizada por
com
. Mostre que esta curva representa um arco de elipse e desenhe o gráfico indicando os pontos iniciais e finais.
Seja
a curva parametrizada por
com
. Mostre que esta curva representa um arco de hipérbole e desenhe o gráfico indicando os pontos iniciais e finais.