Seja C a curva parametrizada por r(t) = (sen(2t), sen^2(2t)) com t in [-pi/4, pi/4]. Mostre que esta curva representa um arco de parábola e desenhe o gráfico indicando os pontos iniciais e finais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a curva , dada pela parametrização com variando de a , é um arco de parábola. Além disso, precisamos desenhar o gráfico e indicar os pontos inicial e final. Vamos usar conceitos de curvas paramétricas e equações de segundo grau para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva. Temos e . Nosso objetivo é eliminar o parâmetro e encontrar uma relação direta entre e .

Passo 3

Observando que , podemos reescrever isso como . Mas sabemos que , então podemos substituir:
Isso mostra que a relação entre e é uma equação de segundo grau, que é a forma geral de uma parábola.

Passo 4

Agora que temos , confirmamos que a curva é realmente uma parábola. Para desenhar o gráfico, vamos considerar os valores de no intervalo .

Passo 5

Vamos calcular os pontos inicial e final:
  • Para :
    Ponto inicial:
  • Para :
    Ponto final:

Resposta

A curva representada por é, na verdade, um arco de parábola definido pela equação . No gráfico, os pontos inicial e final são e , respectivamente.

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