Escolha apenas uma das questões abaixo para resolver:
Escreva uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por
onde e são constantes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea cuja solução geral seja:
Aqui, e são constantes. Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e operadores diferenciais para achar a EDO que corresponde a essa solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os diferentes tipos de soluções que aparecem na expressão geral:
  1. Polinômios de segundo grau:
  2. Exponenciais com multiplicação por x:
  3. Funções trigonométricas:
Cada um desses tipos de termos corresponde a partes específicas da solução de uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes. Nosso objetivo é encontrar a equação que “anula” todos esses termos, ou seja, que tem essas funções como soluções.

Passo 3

Para isso, vamos utilizar o conceito de operador aniquilador. Um operador aniquilador é um operador diferencial que, quando aplicado a uma função específica, resulta em zero. A ideia é encontrar operadores que “destrua” cada um desses termos na solução geral e, depois, combinar esses operadores para obter a EDO completa.
Vamos ver cada tipo de termo:
  1. Polinômios: Para anular um polinômio de segundo grau, usamos o operador , onde . Isso porque derivando três vezes um polinômio de segundo grau resulta em zero.
  2. Exponenciais com multiplicação por x: Para os termos e , o aniquilador é . O fator anula , e ao quadrado, também anula .
  3. Funções trigonométricas: Para e , o aniquilador é , já que e , levando a e .

Passo 4

Agora, para encontrar a EDO que anula todos esses termos simultaneamente, precisamos encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) desses operadores aniquiladores. Isso garante que a EDO resultante anule cada tipo de termo da solução geral.
Os operadores que temos são:
  • para os polinômios,
  • para os exponenciais,
  • para as funções trigonométricas.
O MMC desses operadores é o produto de todos eles, já que não têm fatores comuns. Então, o operador diferencial que vamos usar é:

Passo 5

Agora, precisamos expandir esse operador para obter a EDO em termos de derivadas explícitas. Vamos fazer isso passo a passo:
  1. Primeiro, multiplicamos por :
  1. Em seguida, multiplicamos o resultado por :
  1. Simplificando os termos semelhantes:

Resposta

A Equação Diferencial Ordinária linear homogênea cuja solução geral é dada por
é:

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