Escolha apenas uma das questões abaixo para resolver:
Considere o movimento não amortecido de um corpo de massa 3 kg , preso a uma mola de constante
, que foi colocado em movimento com deslocamento inicial de
para baixo da posição de equilíbrio e depois solto. Supondo que a massa sofre a ação de uma força externa de
, determine a posição do corpo em
.
Considere o movimento não amortecido de um corpo de massa 3 kg , preso a uma mola de constante
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! O problema fala sobre um corpo de massa 3 kg preso a uma mola com constante de mola
. Esse corpo foi deslocado 0,5 metros para baixo da posição de equilíbrio e depois solto. Além disso, ele sofre a ação de uma força externa de
. Nosso objetivo é descobrir a posição do corpo no tempo
segundos.
Vamos usar conceitos de movimento harmônico forçado e equações diferenciais para resolver isso. Precisaremos montar e resolver a equação do movimento que descreve esse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que descreve o movimento do corpo. Para um sistema massa-mola com uma força externa, a equação diferencial é dada por:
Onde:
-
é a massa do corpo. -
é a constante da mola. -
é a força externa aplicada.
Passo 3
Substituindo os valores de
e
na equação, temos:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A solução geral
é a soma da solução da equação homogênea (
) e da solução particular (
):
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
A solução dessa equação é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Em seguida, encontramos a solução particular
. Como o lado direito da equação é
, tentamos uma solução da forma:
Derivando duas vezes
:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Isso nos dá:
Portanto, a solução particular é:
Passo 6
Agora, juntamos as soluções
e
:
Precisamos determinar as constantes
e
usando as condições iniciais. As condições fornecidas são:
- Deslocamento inicial:
- Velocidade inicial:
(já que foi solto do repouso)
Passo 7
Aplicando
na equação de
:
Agora, derivamos
para encontrar
:
Aplicando
na velocidade:
Passo 8
Agora que temos
e
, a equação completa para
fica:
Passo 9
Finalmente, substituímos
segundos na equação para encontrar a posição:
Calculando os valores:
Substituindo:
Resposta
A posição do corpo em
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Escreva uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por
onde
e
são constantes.
Calcule
, sendo
a fronteira de
com normal exterior
, sendo
e
e
pto)
Calcule a integral de linha
, onde C consiste no segmento de reta de
e no arco do primeiro quadrante da circunferência
de
percorrido no sentido anti-horário.
Calcule a integral de linha
onde C é o segmento de reta da origem ao ponto
.