1,8 Escolha apenas uma das questões abaixo para resolver:
Considere o movimento não amortecido de um corpo de massa 3 kg , preso a uma mola de constante 12 N/m, que foi colocado em movimento com deslocamento inicial de 0,5 m para baixo da posição de equilíbrio e depois solto. Supondo que a massa sofre a ação de uma força externa de 3 cos(t) N, determine a posição do corpo em t = 3 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! O problema fala sobre um corpo de massa 3 kg preso a uma mola com constante de mola . Esse corpo foi deslocado 0,5 metros para baixo da posição de equilíbrio e depois solto. Além disso, ele sofre a ação de uma força externa de . Nosso objetivo é descobrir a posição do corpo no tempo segundos.
Vamos usar conceitos de movimento harmônico forçado e equações diferenciais para resolver isso. Precisaremos montar e resolver a equação do movimento que descreve esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que descreve o movimento do corpo. Para um sistema massa-mola com uma força externa, a equação diferencial é dada por:
Onde:
  • é a massa do corpo.
  • é a constante da mola.
  • é a força externa aplicada.

Passo 3

Substituindo os valores de e na equação, temos:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A solução geral é a soma da solução da equação homogênea ( ) e da solução particular ( ):
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
A solução dessa equação é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Em seguida, encontramos a solução particular . Como o lado direito da equação é , tentamos uma solução da forma:
Derivando duas vezes :
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Isso nos dá:
Portanto, a solução particular é:

Passo 6

Agora, juntamos as soluções e :
Precisamos determinar as constantes e usando as condições iniciais. As condições fornecidas são:
  • Deslocamento inicial:
  • Velocidade inicial: (já que foi solto do repouso)

Passo 7

Aplicando na equação de :
Agora, derivamos para encontrar :
Aplicando na velocidade:

Passo 8

Agora que temos e , a equação completa para fica:

Passo 9

Finalmente, substituímos segundos na equação para encontrar a posição:
Calculando os valores:
Substituindo:

Resposta

A posição do corpo em é aproximadamente .

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