Calcule integral duplasigma r o t F d S, em que:
F(x, y, z)=y i+x^2 j+z k, sigma é uma parte do cilindro x^2+y^2=1, com 0 <= z <= 1 e y >= 0, sendo n a normal com componente y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral de superfície dupla de sobre uma parte específica de um cilindro. A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, especialmente o conceito de rotacional de um campo vetorial e integrais de superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o rotacional de e depois fazer a integral sobre a superfície dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por rot, F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k ou , mede a tendência de rotação de um campo vetorial em torno de um ponto. Para um campo , o rotacional é calculado da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de F(x, y, z) = y, i + x^2, j + z, k dado no problema:
rot, F = ( partial zpartial y - partial x^2partial z ) i + ( partial ypartial z - partial zpartial x ) j + ( partial x^2partial x - partial ypartial y ) k
Aplicando a fórmula do rotacional:
partial zpartial y = 0, partial x^2partial z = 0, partial ypartial z = 0, partial zpartial x = 0, partial x^2partial x = 2x, partial ypartial y = 1
Calculando as derivadas:
rot, F = (0 - 0), i + (0 - 0), j + (2x - 1), k = (2x - 1), k
Substituindo:

Passo 4

Agora que temos o rotacional de integral duplasigma rot, F cdot n, dS , precisamos calcular a integral de superfície:
n = x, i + y, j
Onde é o vetor normal à superfície . A superfície é parte do cilindro com e . O vetor normal para a superfície lateral do cilindro é dado por:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar rot, F cdot n = (2x - 1), k cdot (x, i + y, j) = 0 :
Isso porque o vetor é perpendicular aos vetores e , resultando em zero no produto escalar.

Passo 6

Como o produto escalar é zero em todo ponto da superfície integral duplasigma rot, F cdot n, dS = 0 , a integral de superfície também será zero:

Resposta

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