Calcule , em que:
, é uma parte do cilindro , com e , sendo a normal com componente .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral de superfície dupla de sobre uma parte específica de um cilindro. A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, especialmente o conceito de rotacional de um campo vetorial e integrais de superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o rotacional de e depois fazer a integral sobre a superfície dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por ou , mede a tendência de rotação de um campo vetorial em torno de um ponto. Para um campo , o rotacional é calculado da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de dado no problema:
Aplicando a fórmula do rotacional:
Calculando as derivadas:
Substituindo:

Passo 4

Agora que temos o rotacional de , precisamos calcular a integral de superfície:
Onde é o vetor normal à superfície . A superfície é parte do cilindro com e . O vetor normal para a superfície lateral do cilindro é dado por:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Isso porque o vetor é perpendicular aos vetores e , resultando em zero no produto escalar.

Passo 6

Como o produto escalar é zero em todo ponto da superfície , a integral de superfície também será zero:

Resposta

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Seja a superfície
um campo vetorial de classe . Justifique a igualdade
em que a normal aponta para fora da porção da esfera,
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.