Calcule
, em que:
,
é uma parte do cilindro
, com
e
, sendo
a normal com componente
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral de superfície dupla de
sobre uma parte específica de um cilindro. A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, especialmente o conceito de rotacional de um campo vetorial e integrais de superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o rotacional de
e depois fazer a integral sobre a superfície dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por
ou
, mede a tendência de rotação de um campo vetorial em torno de um ponto. Para um campo
, o rotacional é calculado da seguinte forma:
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de
dado no problema:
Aplicando a fórmula do rotacional:
Calculando as derivadas:
Substituindo:
Passo 4
Agora que temos o rotacional de
, precisamos calcular a integral de superfície:
Onde
é o vetor normal à superfície
. A superfície
é parte do cilindro
com
e
. O vetor normal para a superfície lateral do cilindro é dado por:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Isso porque o vetor
é perpendicular aos vetores
e
, resultando em zero no produto escalar.
Passo 6
Como o produto escalar é zero em todo ponto da superfície
, a integral de superfície também será zero:
Resposta
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Dadas as seguintes equações, classifique-as e determine a sua solução. Pontuação: item a) e h) valem 1,5 pontos, demais itens valem 1,0 ponto.
Dadas as seguintes equações, classifique-as e determine a sua solução. Pontuação: item a) e h) valem 1,5 pontos, demais itens valem 1,0 ponto.
e
Seja
a superfície
em que a normal aponta para fora da porção da esfera,
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.