Dadas as seguintes equações, classifique-as e determine a sua solução. Pontuação: item a) e h) valem 1,5 pontos, demais itens valem 1,0 ponto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
. O conteúdo que vamos usar aqui é o de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar classificar a equação e encontrar a solução geral dela, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos classificar a equação. Ela é uma equação diferencial linear de segunda ordem porque envolve a segunda derivada de
e está na forma linear (não há termos como
ou
), com coeficientes constantes (os números que acompanham
e
são constantes).
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação homogênea associada:
. A equação homogênea é importante porque sua solução vai compor a parte geral da solução da equação completa.
Passo 4
Para resolver
, assumimos uma solução da forma
. Derivando, temos
e
. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Passo 5
Resolvendo a equação característica
:
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da homogênea é:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, vamos tentar uma solução particular da forma:
Passo 7
Derivamos
para encontrar
e
:
Passo 8
Substituindo
e suas derivadas na equação
e igualando os coeficientes dos termos de
e
, resolvemos para
,
,
e
.
Passo 9
Após resolver, encontramos os valores:
Então, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação
é:
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Dadas as seguintes equações, classifique-as e determine a sua solução. Pontuação: item a) e h) valem 1,5 pontos, demais itens valem 1,0 ponto.
e
Dadas as seguintes equações, classifique-as e determine a sua solução. Pontuação: item a) e h) valem 1,5 pontos, demais itens valem 1,0 ponto.
Calcule
, em que:
,
é uma parte do cilindro
, com
e
, sendo
a normal com componente
.
Seja
a superfície
em que a normal aponta para fora da porção da esfera,