Dadas as seguintes equações, classifique-as e determine a sua solução. Pontuação: item a) e h) valem 1,5 pontos, demais itens valem 1,0 ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial . O conteúdo que vamos usar aqui é o de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar classificar a equação e encontrar a solução geral dela, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos classificar a equação. Ela é uma equação diferencial linear de segunda ordem porque envolve a segunda derivada de e está na forma linear (não há termos como ou ), com coeficientes constantes (os números que acompanham e são constantes).

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação homogênea associada: . A equação homogênea é importante porque sua solução vai compor a parte geral da solução da equação completa.

Passo 4

Para resolver , assumimos uma solução da forma . Derivando, temos e . Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):

Passo 5

Resolvendo a equação característica :
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da homogênea é:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , vamos tentar uma solução particular da forma:

Passo 7

Derivamos para encontrar e :

Passo 8

Substituindo e suas derivadas na equação e igualando os coeficientes dos termos de e , resolvemos para , , e .

Passo 9

Após resolver, encontramos os valores:
Então, a solução particular é:

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação é:

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Dadas as seguintes equações, classifique-as e determine a sua solução. Pontuação: item a) e h) valem 1,5 pontos, demais itens valem 1,0 ponto. e
Dadas as seguintes equações, classifique-as e determine a sua solução. Pontuação: item a) e h) valem 1,5 pontos, demais itens valem 1,0 ponto.
Calcule , em que:
, é uma parte do cilindro , com e , sendo a normal com componente .
Seja a superfície
um campo vetorial de classe . Justifique a igualdade
em que a normal aponta para fora da porção da esfera,