Dadas as seguintes equações, classifique-as e determine a sua solução. Pontuação: item a) e h) valem 1,5 pontos, demais itens valem 1,0 ponto. e

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo com condições iniciais e . A matéria que vamos usar aqui é a de Equações Diferenciais Lineares Não Homogêneas. Precisaremos resolver a equação geral, que envolve encontrar a solução da parte homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é dada por uma combinação de funções seno e cosseno:
onde e são constantes que determinaremos mais tarde.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea . Observamos que o lado direito da equação tem dois termos: e . Vamos tratar cada um separadamente.
Para o termo , assumimos uma solução da forma . Derivando:
Substituindo na equação original:
Comparando os coeficientes, temos:
Então, .
Para o termo , como já temos funções seno e cosseno na solução homogênea, precisamos multiplicar por para evitar duplicação. Assumimos . Derivando:
Substituindo na equação original:
Comparando os coeficientes:
Então, .

Passo 4

Agora, juntamos as soluções para obter a solução geral da equação não homogênea:

Passo 5

Por fim, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, calculamos :
Então, .
Segundo, calculamos . Primeiro encontramos a derivada de :
Agora, avaliando em :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Dadas as seguintes equações, classifique-as e determine a sua solução. Pontuação: item a) e h) valem 1,5 pontos, demais itens valem 1,0 ponto.
Dadas as seguintes equações, classifique-as e determine a sua solução. Pontuação: item a) e h) valem 1,5 pontos, demais itens valem 1,0 ponto. e
Dadas as seguintes equações, classifique-as e determine a sua solução. Pontuação: item a) e h) valem 1,5 pontos, demais itens valem 1,0 ponto.
Calcule , em que:
, é uma parte do cilindro , com e , sendo a normal com componente .