Dadas as seguintes equações, classifique-as e determine a sua solução. Pontuação: item a) e h) valem 1,5 pontos, demais itens valem 1,0 ponto.
e
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo
com condições iniciais
e
. A matéria que vamos usar aqui é a de Equações Diferenciais Lineares Não Homogêneas. Precisaremos resolver a equação geral, que envolve encontrar a solução da parte homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é dada por uma combinação de funções seno e cosseno:
onde
e
são constantes que determinaremos mais tarde.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea
. Observamos que o lado direito da equação tem dois termos:
e
. Vamos tratar cada um separadamente.
Para o termo
, assumimos uma solução da forma
. Derivando:
Substituindo na equação original:
Comparando os coeficientes, temos:
Então,
.
Para o termo
, como já temos funções seno e cosseno na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar duplicação. Assumimos
. Derivando:
Substituindo na equação original:
Comparando os coeficientes:
Então,
.
Passo 4
Agora, juntamos as soluções para obter a solução geral da equação não homogênea:
Passo 5
Por fim, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, calculamos
:
Então,
.
Segundo, calculamos
. Primeiro encontramos a derivada de
:
Agora, avaliando em
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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e
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Calcule
, em que:
,
é uma parte do cilindro
, com
e
, sendo
a normal com componente
.