Seja sigma a superfície
S=(x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2+z^2=4,-raiz3 <= z raiz3
e F um campo vetorial de classe C^1. Justifique a igualdade
integral duplasigma rot F d S=integralGamma1 F cdot d Gamma2+integralGamma2 F cdot d Gamma2
em que a normal aponta para fora da porção da esfera,
Gamma1(t)=(cos t, sin t,-raiz3), 0 <= t <= 2 pi
e
Gamma1(t)=(cos t,-sin t, raiz3), 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe envolve cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes. A gente tem uma superfície sigma que é parte de uma esfera com raio 2, e duas curvas de contorno Gamma1 e Gamma2. A tarefa é mostrar que a integral do rotacional do campo vetorial F sobre a superfície sigma é igual à soma das integrais de linha de F sobre essas duas curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional, o Teorema de Stokes e como aplicar essas ideias passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a superfície sigma. Ela é definida pela equação da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4, mas com a restrição de que z está entre -raiz3 e raiz3. Isso significa que estamos trabalhando com uma espécie de “fatia” da esfera, limitada pelas duas curvas Gamma1 e Gamma2 nos planos z = -raiz3 e z = raiz3, respectivamente.

Passo 3

Agora, o que é o rotacional de um campo vetorial F? O rotacional, denotado por rot F ou nabla times F, mede a tendência do campo F de girar ao redor de um ponto. É uma ferramenta fundamental no cálculo vetorial para relacionar campos vetoriais com suas propriedades locais de circulação.

Passo 4

O Teorema de Stokes é a chave aqui. Ele estabelece que a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial sobre uma superfície sigma é igual à integral de linha do campo vetorial ao longo da fronteira dessa superfície. Em fórmulas:
integral duplasigma rot F , dS = ointpartial sigma F cdot dGamma
Isso significa que, para nossa superfície sigma, cuja fronteira é composta por Gamma1 e Gamma2, a integral de superfície do rotacional de F será igual à soma das integrais de linha sobre essas duas curvas.

Passo 5

Vamos aplicar o Teorema de Stokes ao nosso caso. A fronteira partial sigma da superfície sigma é formada pelas duas curvas Gamma1 e Gamma2. Portanto, de acordo com o teorema:
integral duplasigma rot F , dS = integralGamma1 F cdot dGamma + integralGamma2 F cdot dGamma
Aqui, F cdot dGamma representa a componente tangencial do campo F ao longo das curvas.

Passo 6

Além disso, é importante notar que a orientação das curvas de contorno deve ser consistente com a orientação da superfície. No enunciado, foi especificado que a normal à superfície aponta para fora da esfera. Isso determina a direção em que deveremos percorrer as curvas Gamma1 e Gamma2 para que o teorema seja aplicado corretamente.

Resposta

Assim, utilizando o Teorema de Stokes e considerando a orientação correta das curvas de contorno, justificamos a igualdade:
integral duplasigma rot F , dS = integralGamma1 F cdot dGamma + integralGamma2 F cdot dGamma

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