Seja a superfície
um campo vetorial de classe . Justifique a igualdade
em que a normal aponta para fora da porção da esfera,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe envolve cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes. A gente tem uma superfície que é parte de uma esfera com raio 2, e duas curvas de contorno e . A tarefa é mostrar que a integral do rotacional do campo vetorial sobre a superfície é igual à soma das integrais de linha de sobre essas duas curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional, o Teorema de Stokes e como aplicar essas ideias passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a superfície . Ela é definida pela equação da esfera , mas com a restrição de que está entre e . Isso significa que estamos trabalhando com uma espécie de “fatia” da esfera, limitada pelas duas curvas e nos planos e , respectivamente.

Passo 3

Agora, o que é o rotacional de um campo vetorial ? O rotacional, denotado por ou , mede a tendência do campo de girar ao redor de um ponto. É uma ferramenta fundamental no cálculo vetorial para relacionar campos vetoriais com suas propriedades locais de circulação.

Passo 4

O Teorema de Stokes é a chave aqui. Ele estabelece que a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial sobre uma superfície é igual à integral de linha do campo vetorial ao longo da fronteira dessa superfície. Em fórmulas:
Isso significa que, para nossa superfície , cuja fronteira é composta por e , a integral de superfície do rotacional de será igual à soma das integrais de linha sobre essas duas curvas.

Passo 5

Vamos aplicar o Teorema de Stokes ao nosso caso. A fronteira da superfície é formada pelas duas curvas e . Portanto, de acordo com o teorema:
Aqui, representa a componente tangencial do campo ao longo das curvas.

Passo 6

Além disso, é importante notar que a orientação das curvas de contorno deve ser consistente com a orientação da superfície. No enunciado, foi especificado que a normal à superfície aponta para fora da esfera. Isso determina a direção em que deveremos percorrer as curvas e para que o teorema seja aplicado corretamente.

Resposta

Assim, utilizando o Teorema de Stokes e considerando a orientação correta das curvas de contorno, justificamos a igualdade:

Exercícios relacionados

Calcule , em que:
, é uma parte do cilindro , com e , sendo a normal com componente .
Dadas as seguintes equações, classifique-as e determine a sua solução. Pontuação: item a) e h) valem 1,5 pontos, demais itens valem 1,0 ponto.
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.