Seja
a superfície
um campo vetorial de classe
. Justifique a igualdade
em que a normal aponta para fora da porção da esfera,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe envolve cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes. A gente tem uma superfície
que é parte de uma esfera com raio 2, e duas curvas de contorno
e
. A tarefa é mostrar que a integral do rotacional do campo vetorial
sobre a superfície
é igual à soma das integrais de linha de
sobre essas duas curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional, o Teorema de Stokes e como aplicar essas ideias passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a superfície
. Ela é definida pela equação da esfera
, mas com a restrição de que
está entre
e
. Isso significa que estamos trabalhando com uma espécie de “fatia” da esfera, limitada pelas duas curvas
e
nos planos
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, o que é o rotacional de um campo vetorial
? O rotacional, denotado por
ou
, mede a tendência do campo
de girar ao redor de um ponto. É uma ferramenta fundamental no cálculo vetorial para relacionar campos vetoriais com suas propriedades locais de circulação.
Passo 4
O Teorema de Stokes é a chave aqui. Ele estabelece que a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial sobre uma superfície
é igual à integral de linha do campo vetorial ao longo da fronteira dessa superfície. Em fórmulas:
Isso significa que, para nossa superfície
, cuja fronteira é composta por
e
, a integral de superfície do rotacional de
será igual à soma das integrais de linha sobre essas duas curvas.
Passo 5
Vamos aplicar o Teorema de Stokes ao nosso caso. A fronteira
da superfície
é formada pelas duas curvas
e
. Portanto, de acordo com o teorema:
Aqui,
representa a componente tangencial do campo
ao longo das curvas.
Passo 6
Além disso, é importante notar que a orientação das curvas de contorno deve ser consistente com a orientação da superfície. No enunciado, foi especificado que a normal à superfície aponta para fora da esfera. Isso determina a direção em que deveremos percorrer as curvas
e
para que o teorema seja aplicado corretamente.
Resposta
Assim, utilizando o Teorema de Stokes e considerando a orientação correta das curvas de contorno, justificamos a igualdade:
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Calcule
, em que:
,
é uma parte do cilindro
, com
e
, sendo
a normal com componente
.
Dadas as seguintes equações, classifique-as e determine a sua solução. Pontuação: item a) e h) valem 1,5 pontos, demais itens valem 1,0 ponto.
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.