Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce. r(t) = < 3 sen(t), 2 cos(t) >

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da curva definida pela equação vetorial . Vamos trabalhar com trigonometria e gráficos paramétricos para resolver isso. Precisaremos entender como as funções seno e cosseno se comportam e como elas se combinam para formar essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da nossa equação vetorial. Temos:
Essas duas equações nos dão as coordenadas x e y para cada valor de t. Nosso objetivo é eliminar o parâmetro t para encontrar uma relação diretamente entre x e y.

Passo 3

Sabemos que . Vamos usar essa identidade trigonométrica para eliminar t.
Primeiro, isolamos sen(t) e cos(t):
Agora, elevamos ao quadrado ambos:

Passo 4

Substituímos essas expressões na identidade trigonométrica:
Isso nos dá a equação de uma elipse, onde os coeficientes indicam os semi-eixos.

Passo 5

Sabendo que a equação representa uma elipse com semi-eixo maior de 3 unidades no eixo x e semi-eixo menor de 2 unidades no eixo y, podemos desenhar a elipse centralizada na origem.

Passo 6

Agora, para indicar a direção do crescimento de t, vamos analisar um valor crescente de t. Por exemplo, quando t aumenta de 0 para , x(t) aumenta de 0 para 3, enquanto y(t) diminui de 2 para 0. Isso indica que o movimento começa na parte superior da elipse e vai para a direita.

Resposta

O gráfico da curva é uma elipse centralizada na origem, com semi-eixos de 3 unidades no eixo x e 2 unidades no eixo y. As setas indicam que, conforme t aumenta, o movimento na elipse segue no sentido horário, começando do ponto (0, 2).

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