Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da curva definida pela equação vetorial
. Vamos trabalhar com trigonometria e gráficos paramétricos para resolver isso. Precisaremos entender como as funções seno e cosseno se comportam e como elas se combinam para formar essa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da nossa equação vetorial. Temos:
Essas duas equações nos dão as coordenadas x e y para cada valor de t. Nosso objetivo é eliminar o parâmetro t para encontrar uma relação diretamente entre x e y.
Passo 3
Sabemos que
. Vamos usar essa identidade trigonométrica para eliminar t.
Primeiro, isolamos
e
:
Agora, elevamos ao quadrado ambos:
Passo 4
Substituímos essas expressões na identidade trigonométrica:
Isso nos dá a equação de uma elipse, onde os coeficientes indicam os semi-eixos.
Passo 5
Sabendo que a equação representa uma elipse com semi-eixo maior de 3 unidades no eixo x e semi-eixo menor de 2 unidades no eixo y, podemos desenhar a elipse centralizada na origem.
Passo 6
Agora, para indicar a direção do crescimento de t, vamos analisar um valor crescente de t. Por exemplo, quando t aumenta de 0 para
,
aumenta de 0 para 3, enquanto
diminui de 2 para 0. Isso indica que o movimento começa na parte superior da elipse e vai para a direita.
Resposta
O gráfico da curva
é uma elipse centralizada na origem, com semi-eixos de 3 unidades no eixo x e 2 unidades no eixo y. As setas indicam que, conforme t aumenta, o movimento na elipse segue no sentido horário, começando do ponto (0, 2).
Exercícios relacionados
Seja
a superfície
em que a normal aponta para fora da porção da esfera,
Calcule
, em que:
,
é uma parte do cilindro
, com
e
, sendo
a normal com componente
.
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.