Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. , onde é a região limitada pelas retas , e
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla , onde a região é limitada pelas retas , , e . Isso envolve o conteúdo de cálculo integral de funções de duas variáveis e uma técnica chamada mudança de variáveis, que nos ajuda a simplificar a região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma mudança de variáveis apropriada. Observando as equações das retas que delimitam a região , notamos que elas podem ser representadas por duas novas variáveis:
Passo 3
Agora, expressamos e em termos de e . Para isso, resolvemos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo a primeira da segunda:
Passo 4
Calculamos o determinante jacobiano da transformação para mudar as variáveis na integral. O jacobiano é dado por:
Portanto, |J| = 110.
Passo 5
Determina-se a nova região de integração em termos de u e v. As retas originais transformam-se em:
u = 1, u = -3, v = 1, v = -2
Assim, u varia de -3 a 1 e v varia de -2 a 1.
Passo 6
Expressamos a função integranda x y em termos de u e v:
x y = (u + v5) (v - u4) = (u + v)(v - u)20 = v^2 - u^220
Passo 7
Substituímos tudo na integral dupla com as novas variáveis e os limites de integração:
integral duplaR x y , dA = integralu=-3^1 integralv=-2^1 (v^2 - u^220) cdot 110 , dv , du = 1200 integral-3^1 integral-2^1 (v^2 - u^2) , dv , du