Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. integral duplaR x y d A, onde R é a região limitada pelas retas 2 x-y=1, 2 x-y=-3,3 x+y=1 e 3 x+y=-2

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla integral duplaR x y , dA, onde a região R é limitada pelas retas 2x - y = 1, 2x - y = -3, 3x + y = 1 e 3x + y = -2. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral de funções de duas variáveis e uma técnica chamada mudança de variáveis, que nos ajuda a simplificar a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma mudança de variáveis apropriada. Observando as equações das retas que delimitam a região R, notamos que elas podem ser representadas por duas novas variáveis:
u = 2x - y
v = 3x + y

Passo 3

Agora, expressamos x e y em termos de u e v. Para isso, resolvemos o sistema de equações:
u = 2x - y v = 3x + y
Somando as duas equações:
u + v = 5x implies x = u + v5
Subtraindo a primeira da segunda:
v - u = 4y implies y = v - u4

Passo 4

Calculamos o determinante jacobiano da transformação para mudar as variáveis na integral. O jacobiano J é dado por:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 15 & 15 -14 & 14 = (15 cdot 14) - (15 cdot -14) = 120 + 120 = 220 = 110
Portanto, |J| = 110.

Passo 5

Determina-se a nova região de integração em termos de u e v. As retas originais transformam-se em:
u = 1, u = -3, v = 1, v = -2
Assim, u varia de -3 a 1 e v varia de -2 a 1.

Passo 6

Expressamos a função integranda x y em termos de u e v:
x y = (u + v5) (v - u4) = (u + v)(v - u)20 = v^2 - u^220

Passo 7

Substituímos tudo na integral dupla com as novas variáveis e os limites de integração:
integral duplaR x y , dA = integralu=-3^1 integralv=-2^1 (v^2 - u^220) cdot 110 , dv , du = 1200 integral-3^1 integral-2^1 (v^2 - u^2) , dv , du

Passo 8

Primeiro, integramos em relação a v:
integral-2^1 v^2 , dv = [v^33]-2^1 = 13 - (-83) = 93 = 3
integral-2^1 -u^2 , dv = -u^2 cdot (1 - (-2)) = -u^2 cdot 3 = -3u^2
Então, a integral interna fica:
3 - 3u^2

Passo 9

Agora, integramos em relação a u:
1200 integral-3^1 (3 - 3u^2) , du = 3200 integral-3^1 (1 - u^2) , du
= 3200 [ u - u^33 ]-3^1 = 3200 [ (1 - 13) - (-3 - (-27)3) ]
= 3200 [ 23 - (-3 + 9) ] = 3200 [ 23 - 6 ] = 3200 cdot (-163) = -48600 = -450 = -225

Resposta

A integral integral duplaR x y , dA vale -dfrac225.

Exercícios relacionados

Determine o jacobiano da transformação. x = 2u, y = 3v^2, z = 4w^3
Determine o jacobiano da transformação. x = e^(2u) cos(v), y = e^(2u) sen(v)
Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada. S = {(u, v) | 0 <= u <= 2, 0 <= v <= 1}; x = u - 2v, y = 2u - v
Use a transformação dada para calcular a integral. integral duplaR(x+y) d A, onde R é o quadrado com vértices (0,0),(2,3), (5,1) e (3,-2) ; x=2 u+3 v, y=3 u-2 v