Use a transformação dada para calcular a integral. , onde é o quadrado com vértices , e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você recebeu. A gente precisa calcular , onde é um quadrado com os vértices em , , e . Para facilitar, vamos usar uma transformação de coordenadas que relaciona e com novas variáveis e , dadas por:
Vamos precisar entender como essa mudança de coordenadas afeta a região de integração e como calcular o determinante jacobiano para ajustar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a transformação das coordenadas. Temos:
Isso significa que cada ponto na região original será mapeado para um ponto no novo sistema de coordenadas. Nosso objetivo é reescrever a integral dupla em termos de e .
Passo 3
Para mudar as variáveis da integral, precisamos calcular o determinante jacobiano da transformação. O jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
J = (2)(-2) - (3)(3) = -4 - 9 = -13
Então:
O valor absoluto do jacobiano é .
Passo 4
Agora, precisamos determinar a nova região de integração no plano 0 = 2u + 3v 0 = 3u - 2v . Para isso, vamos transformar os vértices do quadrado u = 0, v = 0 usando as equações da transformação.
Vamos transformar cada vértice:
2 = 2u + 3v 3 = 3u - 2v :
6 = 6u + 9v 6 = 6u - 4v
Resolvendo:
0 = 13v Rightarrow v = 0 Então, substituindo na primeira equação: 2 = 2u Rightarrow u = 1
5 = 2u + 3v 1 = 3u - 2v :
15 = 6u + 9v 2 = 6u - 4v
Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 2:
13 = 13v Rightarrow v = 1 Substituindo na primeira equação: 5 = 2u + 3(1) Rightarrow 2u = 2 Rightarrow u = 1
Subtraindo as duas:
3 = 2u + 3v -2 = 3u - 2v ãçã
Então, 9 = 6u + 9v -4 = 6u - 4v
13 = 13v Rightarrow v = 1 Substituindo na primeira equação: 3 = 2u + 3(1) Rightarrow 2u = 0 Rightarrow u = 0 :
Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 2:
Subtraindo as duas:
çã
Então,
:
Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 2:
Subtraindo as duas:
çã
Então,
Portanto, a nova região no plano é um quadrado com vértices em , , e .
Passo 5
Agora, reescrevemos a integral original x + y = (2u + 3v) + (3u - 2v) = 5u + v em termos de integral duplaR(x + y) , dA = integral duplaS (5u + v) cdot 13 , du , dv e . Sabemos que:
Além disso,
Então, a integral fica:
Onde é a região no plano que é o quadrado .
Passo 6
Vamos calcular a integral:
integral duplaS (5u + v) cdot 13 , du , dv = 13 integral dupla0^1 integral dupla0^1 (5u + v) , du , dv
Primeiro integramos em relação a integral0^1 (5u + v) , du = [52u^2 + v u ]0^1 = 52(1)^2 + v(1) - 0 = 52 + v :