Determine o jacobiano da transformação. x = 2u, y = 3v^2, z = 4w^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação onde , e . Nosso objetivo é encontrar o jacobiano dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender o que é o jacobiano e como calculá-lo usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, o jacobiano é uma ferramenta que nos ajuda a entender como uma transformação de coordenadas distorce o espaço. Basicamente, ele mede como uma pequena mudança nas variáveis afeta as variáveis .
Para calcular o jacobiano, precisamos montar uma matriz composta pelas derivadas parciais de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
  • Derivadas de :
  • Derivadas de :
  • Derivadas de :

Passo 4

Agora, montamos a matriz Jacobiana com essas derivadas:

[
J =


]
Para encontrar o jacobiano, precisamos calcular o determinante dessa matriz. Como a matriz é diagonal (ou seja, todos os elementos fora da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal:

Resposta

O jacobiano da transformação é .

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