Beleza, vamos lá! Temos uma transformação onde , e . Nosso objetivo é encontrar o jacobiano dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender o que é o jacobiano e como calculá-lo usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, o jacobiano é uma ferramenta que nos ajuda a entender como uma transformação de coordenadas distorce o espaço. Basicamente, ele mede como uma pequena mudança nas variáveis afeta as variáveis .
Para calcular o jacobiano, precisamos montar uma matriz composta pelas derivadas parciais de em relação a .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Derivadas de :
Derivadas de :
Derivadas de :
Passo 4
Agora, montamos a matriz Jacobiana com essas derivadas:
[
J =
]
Para encontrar o jacobiano, precisamos calcular o determinante dessa matriz. Como a matriz é diagonal (ou seja, todos os elementos fora da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal: