Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada. S = {(u, v) | 0 <= u <= 2, 0 <= v <= 1}; x = u - 2v, y = 2u - v

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos a imagem do conjunto sob a transformação dada pelas equações e . Aqui, estamos trabalhando com transformações de coordenadas, que basicamente mudam a forma como representamos os pontos no plano. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as equações de transformação aos pontos que definem o conjunto .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vértices do conjunto . Como é definido por e , ele forma um retângulo no plano . Os vértices desse retângulo são:
Esses pontos vão nos ajudar a determinar a imagem de após a transformação.

Passo 3

Vamos aplicar as equações de transformação a cada um desses vértices para encontrar suas imagens no plano .
  1. Para :
    Então, se transforma em .
  2. Para :
    Então, se transforma em .
  3. Para :
    Então, se transforma em .
  4. Para :
    Então, se transforma em .

Passo 4

Agora que temos as imagens dos quatro vértices, podemos visualizar como o retângulo foi transformado. Os novos pontos no plano são:
Conectando esses pontos, vemos que a imagem de é um polígono formado por esses quatro pontos. Para descrever completamente a imagem, poderíamos também definir as inequações que representam os limites desse novo conjunto, mas para simplificar, vamos nos ater aos pontos transformados.

Resposta

A imagem do conjunto sob a transformação dada é o polígono com vértices em , , e .

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Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. integral duplaR x y d A, onde R é a região limitada pelas retas 2 x-y=1, 2 x-y=-3,3 x+y=1 e 3 x+y=-2
Determine o jacobiano da transformação. x = 2u, y = 3v^2, z = 4w^3
Use a transformação dada para calcular a integral. integral duplaR(x+y) d A, onde R é o quadrado com vértices (0,0),(2,3), (5,1) e (3,-2) ; x=2 u+3 v, y=3 u-2 v
Use a transformação dada para calcular a integral. integral duplaR(3 x+4 y) d A, onde R é a região limitada pelas retas y=x, y=x-2, y=-2 x e y=3-2 x x=13(u+v), y=13(v-2 u).