Determine a imagem do conjunto
sob a transformação dada.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos a imagem do conjunto
sob a transformação dada pelas equações
e
. Aqui, estamos trabalhando com transformações de coordenadas, que basicamente mudam a forma como representamos os pontos no plano. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as equações de transformação aos pontos que definem o conjunto
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vértices do conjunto
. Como
é definido por
e
, ele forma um retângulo no plano
. Os vértices desse retângulo são:
Esses pontos vão nos ajudar a determinar a imagem de
após a transformação.
Passo 3
Vamos aplicar as equações de transformação a cada um desses vértices para encontrar suas imagens no plano
.
-
Para
: Então,se transforma em . -
Para
: Então,se transforma em . -
Para
: Então,se transforma em . -
Para
: Então,se transforma em .
Passo 4
Agora que temos as imagens dos quatro vértices, podemos visualizar como o retângulo
foi transformado. Os novos pontos no plano
são:
Conectando esses pontos, vemos que a imagem de
é um polígono formado por esses quatro pontos. Para descrever completamente a imagem, poderíamos também definir as inequações que representam os limites desse novo conjunto, mas para simplificar, vamos nos ater aos pontos transformados.
Resposta
A imagem do conjunto
sob a transformação dada é o polígono com vértices em
,
,
e
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada.
, onde
é a região limitada pelas retas
,
e
Determine o jacobiano da transformação.
Use a transformação dada para calcular a integral.
, onde
é o quadrado com vértices
,
e
Use a transformação dada para calcular a integral.
, onde
é a região limitada pelas retas
e
.