Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. , onde é o paralelogramo delimitado pelas retas e
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa integral dupla: . A região é um paralelogramo delimitado pelas retas , , e . Vamos usar mudança de variáveis para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, identificamos novas variáveis e que simplificam as equações das retas que formam a região . Observamos que as retas constante e constante são boas candidatas para e .
Então, definimos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as expressões de e em termos de e . Temos o sistema:
Vamos resolver esse sistema para e .
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 3:
Agora, subtraímos a segunda equação () da equação acima:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Passo 4
Precisamos calcular o determinante Jacobiano para a mudança de variáveis. O Jacobiano é dado por:
Agora, vamos transformar a integral original usando as novas variáveis integral duplaR x - 2y3x - y , dA = integral duplaR' uv cdot | J | , du , dv = integral duplaR' uv cdot 15 , du , dv = 15 integral duplaR' uv , du , dv e :
Passo 6
Determinar os limites de integração na nova região u = 0, u = 4 v = 1, v = 8 . As equações das retas se transformam em:
Então, varia de 0 a 4 e varia de 1 a 8.
Passo 7
Agora, vamos integrar:
15 integralv=1^8 integralu=0^4 uv , du , dv
Primeiro, integramos em relação a integral0^4 uv , du = 1v integral0^4 u , du = 1v [ u^22 ]0^4 = 1v ( 162 - 0 ) = 8v :
Passo 8
Agora, integramos em relação a 15 integral1^8 8v , dv = 85 integral1^8 1v , dv = 85 [ ln v ]1^8 = 85 (ln 8 - ln 1) = 85 ln 8 :