Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. integral duplaR x-2 y3 x-y d A, onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x-2 y=0, x-2 y=4,3 x-y=1 e 3 x-y=8

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa integral dupla: . A região é um paralelogramo delimitado pelas retas , , e . Vamos usar mudança de variáveis para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, identificamos novas variáveis u = x - 2y v = 3x - y e que simplificam as equações das retas que formam a região . Observamos que as retas constante e constante são boas candidatas para e .
Então, definimos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as expressões de u = x - 2y v = 3x - y e 3u = 3x - 6y em termos de 3u - v = (3x - 6y) - (3x - y) 3u - v = -5y y = v - 3u5 e u = x - 2(v - 3u5) u = x - 2v - 6u5 5u = 5x - 2v + 6u - u = 5x - 2v 5x = 2v - u x = 2v - u5 . Temos o sistema:
x = 2v - u5 y = v - 3u5
Vamos resolver esse sistema para e .
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 3:
Agora, subtraímos a segunda equação ( ) da equação acima:
Substituindo na primeira equação:
Então:

Passo 4

Precisamos calcular o determinante Jacobiano para a mudança de variáveis. O Jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v é dado por:
partial xpartial u = -15, partial xpartial v = 25 partial ypartial u = -35, partial ypartial v = 15
Calculando as derivadas:
J = -15 & 25 -35 & 15 = (-15)(15) - (25)(-35) = -125 + 625 = 525 = 15
Então:
O valor absoluto do Jacobiano é .

Passo 5

Agora, vamos transformar a integral original usando as novas variáveis integral duplaR x - 2y3x - y , dA = integral duplaR' uv cdot | J | , du , dv = integral duplaR' uv cdot 15 , du , dv = 15 integral duplaR' uv , du , dv e :

Passo 6

Determinar os limites de integração na nova região u = 0, u = 4 v = 1, v = 8 . As equações das retas se transformam em:
Então, varia de 0 a 4 e varia de 1 a 8.

Passo 7

Agora, vamos integrar:
15 integralv=1^8 integralu=0^4 uv , du , dv
Primeiro, integramos em relação a integral0^4 uv , du = 1v integral0^4 u , du = 1v [ u^22 ]0^4 = 1v ( 162 - 0 ) = 8v :

Passo 8

Agora, integramos em relação a 15 integral1^8 8v , dv = 85 integral1^8 1v , dv = 85 [ ln v ]1^8 = 85 (ln 8 - ln 1) = 85 ln 8 :
85 ln 8
Como , a resposta final é:

Resposta

A integral vale .

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