Utilize coordenadas esféricas. Calcule integral triplaH 9-x^2-y^2 d V, onde H é o hemisfério sólido x^2+y^2+z^2 <= 9 e z >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral tripla de sobre o conjunto , que é um hemisfério sólido definido pela equação e . Vamos usar coordenadas esféricas para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender como converter as funções e os limites de integração para coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, cada ponto no espaço é descrito por três valores: x = rho sinphi costheta (a distância do ponto à origem), y = rho sinphi sintheta (o ângulo no plano xy a partir do eixo x) e z = rho cosphi (o ângulo a partir do eixo z). As conversões para coordenadas cartesianas são:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Agora, substituímos 9 - x^2 - y^2 = 9 - rho^2 sin^2phi (cos^2theta + sin^2theta) = 9 - rho^2 sin^2phi pelas expressões em coordenadas esféricas. Sabendo que , temos:
Como .

Passo 4

Determinar os limites de integração. Como 0 <= rho <= 3 é um hemisfério de raio 0 <= theta <= 2pi (já que 0 <= phi <= pi2 ), os limites serão:
O ângulo vai até porque estamos considerando apenas a parte superior do hemisfério ( ).

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla em coordenadas esféricas:
integral triplaH (9 - x^2 - y^2) , dV = integral0^2pi integral0^pi2 integral0^3 (9 - rho^2 sin^2phi) rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integração em ordem: primeiro em integral0^3 (9 - rho^2 sin^2phi) rho^2 , drho = integral0^3 9rho^2 - rho^4 sin^2phi , drho , depois em = 9 [ rho^33 ]0^3 - sin^2phi [ rho^55 ]0^3 e por último em = 9 ( 273 ) - sin^2phi ( 2435 ) .
Integrando em = 81 - 2435 sin^2phi :

Passo 7

Agora, integramos em integral0^pi2 (81 - 2435 sin^2phi ) sinphi , dphi :
81 integral0^pi2 sinphi , dphi - 2435 integral0^pi2 sin^3phi , dphi
Vamos separar as integrais:
81 [ -cosphi ]0^pi2 = 81 (0 - (-1)) = 81
Resolvendo cada uma:
integral sin^3phi , dphi = 23
E
2435 cdot 23 = 48615 = 1625
Portanto:
81 - 1625 = 4055 - 1625 = 2435
Então, a integral em fica:

Passo 8

Por fim, integramos em integral0^2pi 2435 , dtheta = 2435 cdot 2pi = 486pi5 :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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