Utilize coordenadas esféricas. Calcule
, onde
é o hemisfério sólido
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral tripla de
sobre o conjunto
, que é um hemisfério sólido definido pela equação
e
. Vamos usar coordenadas esféricas para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender como converter as funções e os limites de integração para coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, cada ponto no espaço é descrito por três valores:
(a distância do ponto à origem),
(o ângulo no plano xy a partir do eixo x) e
(o ângulo a partir do eixo z). As conversões para coordenadas cartesianas são:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Agora, substituímos
pelas expressões em coordenadas esféricas. Sabendo que
, temos:
Como
.
Passo 4
Determinar os limites de integração. Como
é um hemisfério de raio
(já que
), os limites serão:
O ângulo
vai até
porque estamos considerando apenas a parte superior do hemisfério (
).
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla em coordenadas esféricas:
Passo 6
Vamos resolver a integração em ordem: primeiro em
, depois em
e por último em
.
Integrando em
:
Passo 7
Agora, integramos em
:
Vamos separar as integrais:
Resolvendo cada uma:
E
Portanto:
Então, a integral em
fica:
Passo 8
Por fim, integramos em
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.