Expresse a integral integral triplaE f(x, y, z) d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas. y^2+z^2=9, x=-2 e x=2

Passo 1

Beleza, então vamos lá! O exercício pede para a gente expressar a integral tripla integral triplaE f(x, y, z) dV como uma integral iterada de seis maneiras diferentes. O sólido E é limitado pelas superfícies y^2+z^2=9, x=-2 e x=2. Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente sobre integrais triplas e como estabelecer os limites de integração para diferentes ordens de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o sólido E. A equação y^2+z^2=9 representa um cilindro circular de raio 3 ao longo do eixo x. Os planos x=-2 e x=2 cortam esse cilindro, limitando-o entre essas duas posições no eixo x. Então, nosso sólido é um cilindro finito de raio 3 e comprimento 4 unidades ao longo do eixo x.

Passo 3

Para expressar a integral tripla como uma integral iterada, precisamos escolher a ordem de integração: primeiro integrar em x, depois em y e depois em z, ou qualquer outra combinação das variáveis. Existem 6 possíveis ordens (3! = 6). Para cada ordem, vamos determinar os limites de integração apropriados.

Passo 4

Vamos começar com a ordem dx,dy,dz. Nesse caso, o x varia de -2 a 2. Para cada x, y e z devem satisfazer y^2+z^2 <= 9. Porém, como estamos integrando x primeiro, os limites de y e z dependem da variável externa. Então, a integral fica:
integralz=-3^3 integraly=-raiz9 - z^2^raiz9 - z^2 integralx=-2^2 f(x, y, z) ,dx,dy,dz

Passo 5

Agora, na ordem dx,dz,dy, o x ainda varia de -2 a 2. Para cada y, z varia de -raiz9 - y^2 a raiz9 - y^2. Assim, a integral fica:
integraly=-3^3 integralz=-raiz9 - y^2^raiz9 - y^2 integralx=-2^2 f(x, y, z) ,dx,dz,dy

Passo 6

Seguindo para a ordem dy,dx,dz, o y varia de -raiz9 - z^2 a raiz9 - z^2 para cada z. O x varia de -2 a 2. Então, a integral fica:
integralz=-3^3 integralx=-2^2 integraly=-raiz9 - z^2^raiz9 - z^2 f(x, y, z) ,dy,dx,dz

Passo 7

Na ordem dy,dz,dx, o y varia de -raiz9 - z^2 a raiz9 - z^2 para cada z, e z varia de -3 a 3. O x está fixo entre -2 e 2. Assim, a integral fica:
integralx=-2^2 integralz=-3^3 integraly=-raiz9 - z^2^raiz9 - z^2 f(x, y, z) ,dy,dz,dx

Passo 8

Agora, na ordem dz,dx,dy, o z varia de -raiz9 - y^2 a raiz9 - y^2 para cada y, e x varia de -2 a 2. Então, a integral é:
integraly=-3^3 integralx=-2^2 integralz=-raiz9 - y^2^raiz9 - y^2 f(x, y, z) ,dz,dx,dy

Passo 9

Por fim, na ordem dz,dy,dx, o z varia de -raiz9 - y^2 a raiz9 - y^2 para cada y, e y varia de -3 a 3. O x está entre -2 e 2. Assim, a integral fica:
integralx=-2^2 integraly=-3^3 integralz=-raiz9 - y^2^raiz9 - y^2 f(x, y, z) ,dz,dy,dx

Resposta

As seis formas iteradas da integral são:
integralz=-3^3 integraly=-raiz9 - z^2^raiz9 - z^2 integralx=-2^2 f(x, y, z) ,dx,dy,dz
integraly=-3^3 integralz=-raiz9 - y^2^raiz9 - y^2 integralx=-2^2 f(x, y, z) ,dx,dz,dy
integralz=-3^3 integralx=-2^2 integraly=-raiz9 - z^2^raiz9 - z^2 f(x, y, z) ,dy,dx,dz
integralx=-2^2 integralz=-3^3 integraly=-raiz9 - z^2^raiz9 - z^2 f(x, y, z) ,dy,dz,dx
integraly=-3^3 integralx=-2^2 integralz=-raiz9 - y^2^raiz9 - y^2 f(x, y, z) ,dz,dx,dy
integralx=-2^2 integraly=-3^3 integralz=-raiz9 - y^2^raiz9 - y^2 f(x, y, z) ,dz,dy,dx

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