Expresse a integral
como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde
é o sólido limitado pelas superfícies dadas.
e
Passo 1
Beleza, então vamos lá! O exercício pede para a gente expressar a integral tripla
como uma integral iterada de seis maneiras diferentes. O sólido
é limitado pelas superfícies
,
e
. Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente sobre integrais triplas e como estabelecer os limites de integração para diferentes ordens de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o sólido
. A equação
representa um cilindro circular de raio 3 ao longo do eixo
. Os planos
e
cortam esse cilindro, limitando-o entre essas duas posições no eixo
. Então, nosso sólido é um cilindro finito de raio 3 e comprimento 4 unidades ao longo do eixo
.
Passo 3
Para expressar a integral tripla como uma integral iterada, precisamos escolher a ordem de integração: primeiro integrar em
, depois em
e depois em
, ou qualquer outra combinação das variáveis. Existem 6 possíveis ordens (3! = 6). Para cada ordem, vamos determinar os limites de integração apropriados.
Passo 4
Vamos começar com a ordem
. Nesse caso, o
varia de
a
. Para cada
,
e
devem satisfazer
. Porém, como estamos integrando
primeiro, os limites de
e
dependem da variável externa. Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, na ordem
, o
ainda varia de
a
. Para cada
,
varia de
a
. Assim, a integral fica:
Passo 6
Seguindo para a ordem
, o
varia de
a
para cada
. O
varia de
a
. Então, a integral fica:
Passo 7
Na ordem
, o
varia de
a
para cada
, e
varia de
a
. O
está fixo entre
e
. Assim, a integral fica:
Passo 8
Agora, na ordem
, o
varia de
a
para cada
, e
varia de
a
. Então, a integral é:
Passo 9
Por fim, na ordem
, o
varia de
a
para cada
, e
varia de
a
. O
está entre
e
. Assim, a integral fica:
Resposta
As seis formas iteradas da integral são:
Exercícios relacionados
Calcule a integral tripla.
, onde
está abaixo do plano
e acima da região do plano
limitada pelas curvas
e
Utilize coordenadas polares para detrminar o volume do sólido dado. Abaixo do cone
e acima do disco
Utilize coordenadas esféricas. Calcule
, onde
é o hemisfério sólido
.
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada.
, onde
é o paralelogramo delimitado pelas retas
e