Determine o volume do sólido dado. Abaixo da superfície
e acima do triangulo com vértices
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está abaixo da superfície
e acima de um triângulo no plano
com vértices em
,
e
. Para isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. O triângulo com os vértices dados está no plano
. Precisamos achar as equações das retas que formam os lados desse triângulo para definir os limites de integração.
Passo 3
Vamos identificar as equações das retas:
- Entre
e : essa é uma reta horizontal, então . - Entre
e : essa é uma reta vertical, então . - Entre
e : vamos achar a equação dessa reta. A inclinação é . Usando o ponto , a equação fica , então .
Passo 4
Agora, vamos estabelecer os limites de integração. Para
, ele varia de 1 a 4. Para cada
nesse intervalo,
varia de 1 até
.
Passo 5
Escrevendo a integral dupla para o volume:
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Simplificando e depois integrando em relação a
.
Passo 6
Após resolver as integrais, encontramos o volume:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada.
, onde
é o paralelogramo delimitado pelas retas
e
Utilize coordenadas esféricas. Calcule
, onde
é o hemisfério sólido
.
Calcule a integral trocando a ordem de integração.
Utilize coordenadas esféricas. Encontre o volume da parte da bola
que está entre os cones
e
.