Determine o volume do sólido dado. Abaixo da superfície z = x y e acima do triangulo com vértices (1,1), (4,1) e 1,2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está abaixo da superfície e acima de um triângulo no plano com vértices em , e . Para isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. O triângulo com os vértices dados está no plano . Precisamos achar as equações das retas que formam os lados desse triângulo para definir os limites de integração.

Passo 3

Vamos identificar as equações das retas:
  1. Entre e : essa é uma reta horizontal, então .
  2. Entre e : essa é uma reta vertical, então .
  3. Entre e : vamos achar a equação dessa reta. A inclinação é . Usando o ponto , a equação fica , então .

Passo 4

Agora, vamos estabelecer os limites de integração. Para , ele varia de 1 a 4. Para cada nesse intervalo, varia de 1 até .

Passo 5

Escrevendo a integral dupla para o volume:
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Simplificando e depois integrando em relação a .

Passo 6

Após resolver as integrais, encontramos o volume:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. integral duplaR x-2 y3 x-y d A, onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x-2 y=0, x-2 y=4,3 x-y=1 e 3 x-y=8
Utilize coordenadas esféricas. Calcule integral triplaH 9-x^2-y^2 d V, onde H é o hemisfério sólido x^2+y^2+z^2 <= 9 e z >= 0.
Calcule a integral trocando a ordem de integração. integral0^raizpi integraly^raizpi cos (x^2) d x d y
Utilize coordenadas esféricas. Encontre o volume da parte da bola rho <= a que está entre os cones phi = pi / 6 e phi = pi / 3.