Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. integral duplaR x+2 ycos (x-y) d A, onde R é o paralelogramo limitado pelas retas y=x, y=x-1, x+2 y=0 e x+2 y=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre uma região que é um paralelogramo limitado por quatro retas: , , e . O integrando é . Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variáveis que simplifique as equações das retas e a própria integral. Vamos precisar entender como mudar de coordenadas e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher novas variáveis que simplifiquem as equações das retas que delimitam u = y - x e v = x + 2y . Observando as retas, notamos que elas podem ser expressas em termos de e . Então, vamos definir:
Isso vai ajudar a transformar o paralelogramo em um retângulo na nova coordenada .

Passo 3

Agora, precisamos expressar u = y - x v = x + 2y e x = 2v + u3 e y = v - u3 em termos de e . Vamos resolver o sistema de equações:
Resolvendo para e :
Assim, temos e em função de e .

Passo 4

Precisamos calcular o determinante jacobiano da transformação para mudar as variáveis na integral. O jacobiano é dado por:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
Calculando as derivadas:
partial xpartial u = 13, partial xpartial v = 23, partial ypartial u = -13, partial ypartial v = 13
Então:
J = (13 cdot 13) - (23 cdot -13) = 19 + 29 = 39 = 13

Passo 5

Agora, vamos identificar os novos limites de integração na coordenada y = x Rightarrow u = 0 y = x - 1 Rightarrow u = -1 x + 2y = 0 Rightarrow v = 0 x + 2y = 2 Rightarrow v = 2 . As retas que delimitam se transformam em:
Então, varia de a e varia de a .

Passo 6

Vamos reescrever o integrando x + 2y = v e x - y = -u em termos de vcos(-u) = vcos u e :
Então, o integrando fica:
Lembrando que .

Passo 7

Agora, substituímos tudo na integral dupla:
integral duplaR x + 2ycos(x - y) , dA = integralv=0^2 integralu=-1^0 vcos u cdot |13| , du , dv
Simplificando, já que o jacobiano é 13 integral0^2 integral-1^0 vcos u , du , dv :

Passo 8

Vamos resolver a integração em integral-1^0 vcos u , du = v integral-1^0 sec u , du = v [ ln|sec u + tan u| ]-1^0 primeiro:
ln|sec 0 + tan 0| | = ln(1 + 0) = 0 ln|sec(-1) + tan(-1)| | = ln|sec 1 - tan 1|
Calculando nos limites:
v (0 - ln|sec 1 - tan 1|) = -v ln|sec 1 - tan 1|
Então:
Como , podemos tirar o valor absoluto.

Passo 9

Agora, integramos em 13 integral0^2 -v ln(sec 1 - tan 1) , dv = -ln(sec 1 - tan 1)3 integral0^2 v , dv :
integral0^2 v , dv = v^22 |0^2 = 42 = 2
Calculando a integral:
-ln(sec 1 - tan 1)3 cdot 2 = -23 ln(sec 1 - tan 1)
Então:

Passo 10

Finalmente, chegamos à resposta:
integral duplaR x + 2ycos(x - y) , dA = -23 ln(sec 1 - tan 1)

Resposta

A integral vale .

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Use a transformação dada para calcular a integral. integral duplaR(x+y) d A, onde R é o quadrado com vértices (0,0),(2,3), (5,1) e (3,-2) ; x=2 u+3 v, y=3 u-2 v
Determine o domínio das seguintes funções: h(x, y) = raiz(x + y + 1) / (x - 1)
Verifique se as funções são contínuas: g(x) = { 2 se x = 1, 1/(x-2)^2 se x ≠ 2, 3 se x = 2 }