Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. , onde é o paralelogramo limitado pelas retas e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre uma região que é um paralelogramo limitado por quatro retas: , , e . O integrando é . Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variáveis que simplifique as equações das retas e a própria integral. Vamos precisar entender como mudar de coordenadas e ajustar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher novas variáveis que simplifiquem as equações das retas que delimitam . Observando as retas, notamos que elas podem ser expressas em termos de e . Então, vamos definir:
Isso vai ajudar a transformar o paralelogramo em um retângulo na nova coordenada .
Passo 3
Agora, precisamos expressar e em termos de e . Vamos resolver o sistema de equações:
Resolvendo para e :
Assim, temos e em função de e .
Passo 4
Precisamos calcular o determinante jacobiano da transformação para mudar as variáveis na integral. O jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas:
partial xpartial u = 13, partial xpartial v = 23, partial ypartial u = -13, partial ypartial v = 13
Agora, vamos identificar os novos limites de integração na coordenada y = x Rightarrow u = 0 y = x - 1 Rightarrow u = -1 x + 2y = 0 Rightarrow v = 0 x + 2y = 2 Rightarrow v = 2 . As retas que delimitam se transformam em:
Então, varia de a e varia de a .
Passo 6
Vamos reescrever o integrando x + 2y = v e x - y = -u em termos de vcos(-u) = vcos u e :
Então, o integrando fica:
Lembrando que .
Passo 7
Agora, substituímos tudo na integral dupla:
integral duplaR x + 2ycos(x - y) , dA = integralv=0^2 integralu=-1^0 vcos u cdot |13| , du , dv
Simplificando, já que o jacobiano é 13 integral0^2 integral-1^0 vcos u , du , dv :
Passo 8
Vamos resolver a integração em integral-1^0 vcos u , du = v integral-1^0 sec u , du = v [ ln|sec u + tan u| ]-1^0 primeiro: