Use a transformação dada para calcular a integral. integral duplaR(3 x+4 y) d A, onde R é a região limitada pelas retas y=x, y=x-2, y=-2 x e y=3-2 x x=13(u+v), y=13(v-2 u).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaR(3x + 4y) , dA. O problema envolve calcular essa integral sobre a região R limitada pelas retas y = x, y = x - 2, y = -2x e y = 3 - 2x. Para facilitar, vamos usar uma transformação de coordenadas:
x = 13(u + v), y = 13(v - 2u)
Vamos precisar entender como essa transformação muda a região de integração e calcular o determinante da matriz jacobiana para ajustar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a nova região de integração no plano (u, v). Para isso, precisamos transformar as equações das retas que delimitam R usando as transformações dadas.

Passo 3

Vamos transformar cada uma das retas:
  1. Para y = x:
    Substituindo x e y:
    v - 2u3 = u + v3
    Simplificando:
    v - 2u = u + v implies -2u = u implies u = 0
  2. Para y = x - 2:
    v - 2u3 = u + v3 - 2
    Simplificando:
    v - 2u = u + v - 6 implies -2u = u - 6 implies -3u = -6 implies u = 2
  3. Para y = -2x:
    v - 2u3 = -2 cdot u + v3
    Simplificando:
    v - 2u = -2u - 2v implies v + 2v = -2u + 2u implies 3v = 0 implies v = 0
  4. Para y = 3 - 2x:
    v - 2u3 = 3 - 2 cdot u + v3
    Simplificando:
    v - 2u = 9 - 2u - 2v implies v + 2v = 9 implies 3v = 9 implies v = 3

Passo 4

Agora, sabemos que a nova região no plano (u, v) é limitada por u = 0, u = 2, v = 0 e v = 3. Isso forma um retângulo fácil de integrar.

Passo 5

Precisamos calcular o determinante da matriz jacobiana da transformação para ajustar a integral. A matriz jacobiana J é dada por:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 13 & 13 -23 & 13
Calculando o determinante:
det(J) = (13)(13) - (13)(-23) = 19 + 29 = 39 = 13

Passo 6

Agora, vamos expressar a função integranda 3x + 4y em termos de u e v:
3x + 4y = 3(u + v3) + 4(v - 2u3) = (u + v) + 4v - 8u3 = 3u + 3v + 4v - 8u3 = -5u + 7v3

Passo 7

Com tudo isso, a integral transformada fica:
integral duplaR(3x + 4y) , dA = integral duplaR' (-5u + 7v3) cdot |det(J)| , du , dv = integral duplaR' (-5u + 7v3) cdot 13 , du , dv = integral duplaR' -5u + 7v9 , du , dv

Passo 8

Agora, vamos integrar sobre o retângulo 0 <= u <= 2 e 0 <= v <= 3:
integral0^2 integral0^3 -5u + 7v9 , dv , du
Primeiro, integramos em relação a v:
integral0^3 -5u + 7v9 , dv = 19 [ -5u v + 72 v^2 ]0^3 = 19 ( -15u + 632 )

Passo 9

Agora, integramos em relação a u:
integral0^2 ( -15u + 6329 ) , du = 19 [ -152 u^2 + 632 u ]0^2 = 19 ( -152 cdot 4 + 632 cdot 2 ) = 19 ( -30 + 63 ) = 339 = 113

Resposta

A integral dupla integral duplaR(3x + 4y) , dA é igual a 113.

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Use a transformação dada para calcular a integral. integral duplaR(x+y) d A, onde R é o quadrado com vértices (0,0),(2,3), (5,1) e (3,-2) ; x=2 u+3 v, y=3 u-2 v
Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada. S = {(u, v) | 0 <= u <= 2, 0 <= v <= 1}; x = u - 2v, y = 2u - v
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. integral duplaR x+2 ycos (x-y) d A, onde R é o paralelogramo limitado pelas retas y=x, y=x-1, x+2 y=0 e x+2 y=2
Determine o domínio das seguintes funções: h(x, y) = raiz(x + y + 1) / (x - 1)