Use a transformação dada para calcular a integral.
, onde
é a região limitada pelas retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
. O problema envolve calcular essa integral sobre a região
limitada pelas retas
,
,
e
. Para facilitar, vamos usar uma transformação de coordenadas:
Vamos precisar entender como essa transformação muda a região de integração e calcular o determinante da matriz jacobiana para ajustar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a nova região de integração no plano
. Para isso, precisamos transformar as equações das retas que delimitam
usando as transformações dadas.
Passo 3
Vamos transformar cada uma das retas:
-
Para
: Substituindoe : Simplificando: -
Para
: Simplificando: -
Para
: Simplificando: -
Para
: Simplificando:
Passo 4
Agora, sabemos que a nova região no plano
é limitada por
,
,
e
. Isso forma um retângulo fácil de integrar.
Passo 5
Precisamos calcular o determinante da matriz jacobiana da transformação para ajustar a integral. A matriz jacobiana
é dada por:
Calculando o determinante:
Passo 6
Agora, vamos expressar a função integranda
em termos de
e
:
Passo 7
Com tudo isso, a integral transformada fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar sobre o retângulo
e
:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral dupla
é igual a
.
Exercícios relacionados
Use a transformação dada para calcular a integral.
, onde
é o quadrado com vértices
,
e
Determine a imagem do conjunto
sob a transformação dada.
;
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada.
, onde
é o paralelogramo limitado pelas retas
e
Determine o domínio das seguintes funções: