Beleza, então o que a gente tem aqui é uma função que muda de expressão em alguns pontos específicos. O exercício pede para a gente verificar se essa função é contínua. Pra isso, vamos precisar entender o que é continuidade na matemática e analisar a função ponto a ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua num ponto se:
A função está definida em (ou seja, existe).
O limite da função quando se aproxima de existe.
O limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função em , ou seja, .
Se todos esses três requisitos forem atendidos, a função é contínua naquele ponto.
Passo 3
Vamos analisar a função :
Vemos que a função tem comportamentos diferentes em e , então vamos verificar a continuidade nesses pontos.
Passo 4
Analisando em :
A função está definida em ?
Sim, .
Qual é o limite de quando se aproxima de 1?
Para próximo de 1, mas diferente de 2 e diferente de 1, a expressão é .
Calculando o limite:
Comparando com :
Como o limite não é igual ao valor da função, a função não é contínua em .
Passo 5
Analisando em :
A função está definida em ?
Sim, .
Qual é o limite de quando se aproxima de 2?
Para próximo de 2 e diferente de 2, a expressão é .
Calculando o limite:
Conforme se aproxima de 2, fica muito pequeno, então cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito.
Comparando com :
O limite não é um número real finito, então não podemos igualar ao valor da função. Portanto, a função não é contínua em .
Passo 6
Analisando para e :
Para todos os outros valores de , a função é , que é uma função racional. Sabemos que funções racionais são contínuas em todo o seu domínio, ou seja, para todo .
Resposta
A função não é contínua nos pontos e . Para todos os outros valores de , a função é contínua.