Verifique se as funções são contínuas: g(x) = { 2 se x = 1, 1/(x-2)^2 se x ≠ 2, 3 se x = 2 }

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma função que muda de expressão em alguns pontos específicos. O exercício pede para a gente verificar se essa função é contínua. Pra isso, vamos precisar entender o que é continuidade na matemática e analisar a função ponto a ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua num ponto se:
  1. A função está definida em (ou seja, existe).
  2. O limite da função quando se aproxima de existe.
  3. O limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função em , ou seja, .
Se todos esses três requisitos forem atendidos, a função é contínua naquele ponto.

Passo 3

Vamos analisar a função :
Vemos que a função tem comportamentos diferentes em e , então vamos verificar a continuidade nesses pontos.

Passo 4

Analisando em :
  1. A função está definida em ?
    Sim, .
  2. Qual é o limite de quando se aproxima de 1?
    Para próximo de 1, mas diferente de 2 e diferente de 1, a expressão é .
    Calculando o limite:
  3. Comparando com :
    Como o limite não é igual ao valor da função, a função não é contínua em .

Passo 5

Analisando em :
  1. A função está definida em ?
    Sim, .
  2. Qual é o limite de quando se aproxima de 2?
    Para próximo de 2 e diferente de 2, a expressão é .
    Calculando o limite:
    Conforme se aproxima de 2, fica muito pequeno, então cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito.
  3. Comparando com :
    O limite não é um número real finito, então não podemos igualar ao valor da função. Portanto, a função não é contínua em .

Passo 6

Analisando para e :
Para todos os outros valores de , a função é , que é uma função racional. Sabemos que funções racionais são contínuas em todo o seu domínio, ou seja, para todo .

Resposta

A função não é contínua nos pontos e . Para todos os outros valores de , a função é contínua.

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