Calcule a integral: integral-1^2 f(x) d x, onde f(x)=l2 4-x^2 se -2 <= x <= 0.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de de até . A matéria aqui é Cálculo Integral, e para resolver, precisamos entender como lidar com funções que mudam de expressão em diferentes intervalos. No nosso caso, a função tem duas partes: uma quando e outra para os outros valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função f(x) = 2 & se -2 <= x <= 0 4 - x^2 & caso contrário está definida:
á
Isso significa que de a , vale , e para os valores de fora desse intervalo, vale .

Passo 3

Como queremos integrar de integral-1^2 f(x) , dx = integral-1^0 2 , dx + integral0^2 (4 - x^2) , dx até , precisamos ver em quais intervalos a definição de muda dentro desse intervalo:
  • De a :
  • De a :
Então, vamos dividir a integral em duas partes:

Passo 4

Vamos resolver cada parte separadamente. Começando pela primeira integral:
integral-1^0 2 , dx
A integral de uma constante 2x gr|-1^0 = 2(0) - 2(-1) = 0 + 2 = 2 em relação a é simplesmente . Avaliamos de a :

Passo 5

Agora, resolvemos a segunda integral:
integral0^2 (4 - x^2) , dx
Vamos integrar termo a termo:
  • A integral de 4x - x^33 gr|0^2 = (4(2) - 2^33) - (4(0) - 0^33) = (8 - 83) - (0 - 0) = 8 - 83 = 243 - 83 = 163 em relação a é .
  • A integral de em relação a é .
Então:

Passo 6

Finalmente, somamos os resultados das duas integrais:
2 + 163 = 63 + 163 = 223

Resposta

integral-1^2 f(x) , dx = 223

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