Calcule a integral: integral1^2 v^3+3 v^5v^4 d v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integração de funções racionais, ou seja, funções onde temos polinômios no numerador e no denominador.
O que vamos precisar: Vamos simplificar a fração, aplicar as regras básicas de integração e, por fim, calcular o valor da integral nos limites de 1 a 2.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
v^3 + 3v^5v^4
Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
v^3v^4 + 3v^5v^4 = v^-1 + 3v^1
Então, a integral fica:
integral1^2 ( v^-1 + 3v ) , dv

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
  1. Integrando integral v^-1 , dv = ln|v| :
A integral de integral 3v , dv = 3 cdot v^22 = 3v^22 é ln|v| + 3v^22 .
  1. Integrando :
A constante 3 fica na frente, e a integral de é .
Então, a integral completa é:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa expressão nos limites de 1 a 2.
Primeiro, substituímos ln(2) + 3(2)^22 = ln(2) + 122 = ln(2) + 6 :
ln(1) + 3(1)^22 = 0 + 32 = 32
Depois, substituímos (ln(2) + 6) - 32 = ln(2) + 122 - 32 = ln(2) + 92 :
Agora, subtraímos o segundo resultado do primeiro:

Resposta

A integral é igual a .

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