Seja
, em que
é a função cujo gráfico é ilustrado ao lado. Em que intervalos
é côncavo?
Passo 1
Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida como a integral de
de 0 até
, ou seja:
A pergunta é: Em quais intervalos
é côncava?
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre concavidade de funções e como calcular derivadas de funções definidas por integrais. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a concavidade de uma função está relacionada com a sua segunda derivada. Se a segunda derivada de
for negativa em certo intervalo, isso significa que
é côncava nesse intervalo.
Então, nosso objetivo é encontrar a segunda derivada de
e determinar onde ela é negativa.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
. Pela regra fundamental do cálculo, a derivada de uma integral com limite superior variável é simplesmente a função integranda avaliada nesse limite. Ou seja:
Isso significa que a primeira derivada de
é igual a
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
. Basta derivar novamente
:
Então, a segunda derivada de
é a derivada de
, ou seja,
.
Passo 5
Como mencionamos antes,
é côncava onde sua segunda derivada é negativa:
Portanto, para encontrar os intervalos onde
é côncava, precisamos identificar onde a derivada de
é negativa.
Passo 6
Olhemos para o gráfico da função
(imaginando que temos o gráfico à mão). A derivada
representa a inclinação da curva de
:
- Se
: a função está decrescendo. - Se
: a função está crescendo.
Então,
será côncava nos intervalos onde
está decrescendo.
Passo 7
Com base no gráfico de
, identifique os intervalos onde a função está decrescendo (onde a inclinação é negativa). Esses serão os intervalos onde
, e portanto, onde
é côncava.
Por exemplo:
- Se
está decrescendo em , então é côncava nesse intervalo. - Se
está crescendo em , então não é côncava nesse intervalo.
Resposta
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Calcule a integral:
, onde
se
.
Calcule a integral:
.
Calcule as seguintes integrais definidas:
.
Encontre a integral indefinida:
.