Seja , em que é a função cujo gráfico é ilustrado ao lado. Em que intervalos é côncavo?

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida como a integral de de 0 até , ou seja:
A pergunta é: Em quais intervalos é côncava?
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre concavidade de funções e como calcular derivadas de funções definidas por integrais. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a concavidade de uma função está relacionada com a sua segunda derivada. Se a segunda derivada de for negativa em certo intervalo, isso significa que é côncava nesse intervalo.
Então, nosso objetivo é encontrar a segunda derivada de e determinar onde ela é negativa.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de . Pela regra fundamental do cálculo, a derivada de uma integral com limite superior variável é simplesmente a função integranda avaliada nesse limite. Ou seja:
Isso significa que a primeira derivada de é igual a .

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de . Basta derivar novamente :
Então, a segunda derivada de é a derivada de , ou seja, .

Passo 5

Como mencionamos antes, é côncava onde sua segunda derivada é negativa:
Portanto, para encontrar os intervalos onde é côncava, precisamos identificar onde a derivada de é negativa.

Passo 6

Olhemos para o gráfico da função (imaginando que temos o gráfico à mão). A derivada representa a inclinação da curva de :
  • Se : a função está decrescendo.
  • Se : a função está crescendo.
Então, será côncava nos intervalos onde está decrescendo.

Passo 7

Com base no gráfico de , identifique os intervalos onde a função está decrescendo (onde a inclinação é negativa). Esses serão os intervalos onde , e portanto, onde é côncava.
Por exemplo:
  • Se está decrescendo em , então é côncava nesse intervalo.
  • Se está crescendo em , então não é côncava nesse intervalo.

Resposta

é côncava nos intervalos onde a função está decrescendo, ou seja, nos intervalos onde .

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Calcule a integral: , onde se .
Calcule a integral: .
Calcule as seguintes integrais definidas: .
Encontre a integral indefinida: .