Calcule as seguintes integrais definidas:
.
Passo 1
Vamos resolver a integral definida
. Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais definidas que envolvem funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição.
Passo 2
Primeiro, fazemos uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir
. Assim, a derivada de
em relação a
é
. Além disso, podemos expressar
em termos de
:
.
Passo 3
Substituindo
e
na integral original, temos:
Passo 4
Agora, vamos dividir a fração dentro da integral:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, integramos cada termo separadamente. Lembrando que
, onde
é a constante de integração.
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Passo 6
Substituindo de volta na integral definida:
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 2 e 1.
Passo 7
Calculando para
:
Calculando para
:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A integral definida é igual a
.
Exercícios relacionados
Seja
, em que
é a função cujo gráfico é ilustrado ao lado. Em que intervalos
é côncavo?
Calcule a integral:
, onde
se
.
Encontre a integral indefinida:
.
Calcule as seguintes integrais definidas:
.