Calcule as seguintes integrais definidas: integral0^1 xraiz1+x d x.

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral0^1 xraiz1+x , dx. Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais definidas que envolvem funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, fazemos uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir u = 1 + x. Assim, a derivada de u em relação a x é du = dx. Além disso, podemos expressar x em termos de u: x = u - 1.

Passo 3

Substituindo u e dx na integral original, temos:
integralx=0^x=1 xraiz1+x , dx = integralu=1^u=2 u - 1raizu , du

Passo 4

Agora, vamos dividir a fração dentro da integral:
integral1^2 uraizu , du - integral1^2 1raizu , du
Simplificando os termos:
integral1^2 u^1/2 , du - integral1^2 u^-1/2 , du

Passo 5

Agora, integramos cada termo separadamente. Lembrando que integral u^n , du = u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração.
Para o primeiro termo:
integral u^1/2 , du = 23 u^3/2
Para o segundo termo:
integral u^-1/2 , du = 2 u^1/2

Passo 6

Substituindo de volta na integral definida:
[ 23 u^3/2 - 2 u^1/2 ]1^2
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 2 e 1.

Passo 7

Calculando para u = 2:
23 (2)^3/2 - 2 (2)^1/2 = 23 cdot 2 raiz2 - 2 raiz2 = 4raiz23 - 2raiz2
Calculando para u = 1:
23 (1)^3/2 - 2 (1)^1/2 = 23 - 2

Passo 8

Subtraindo os valores:
( 4raiz23 - 2raiz2 ) - ( 23 - 2 ) = 4raiz23 - 2raiz2 - 23 + 2
Simplificando:
4raiz2 - 6raiz23 + 43 = -2raiz2 + 43

Resposta

A integral definida é igual a 4 - 2raiz23.

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