Calcule as seguintes integrais definidas: .

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais definidas que envolvem funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, fazemos uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir . Assim, a derivada de em relação a é . Além disso, podemos expressar em termos de : .

Passo 3

Substituindo e na integral original, temos:

Passo 4

Agora, vamos dividir a fração dentro da integral:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, integramos cada termo separadamente. Lembrando que , onde é a constante de integração.
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:

Passo 6

Substituindo de volta na integral definida:
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 2 e 1.

Passo 7

Calculando para :
Calculando para :

Passo 8

Subtraindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A integral definida é igual a .

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Seja , em que é a função cujo gráfico é ilustrado ao lado. Em que intervalos é côncavo?
Calcule a integral: , onde se .
Encontre a integral indefinida: .
Calcule as seguintes integrais definidas: .